本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷（选择题，共75分）

在本试卷中，表示角的正切，表示角的余切。

一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，选出一项符合题目要求的。

（1）设集合，集合，则（　）

A. ｛2，4｝　　　　　 　B. ｛1，2，3，4，5，6，8，10｝

C. ｛2｝　　　　　　　　D. ｛4｝

（2）设函数，则（　）

A. 　　　　　B.

C. 　　　　　D.

（3）函数的最小正周期为（　）

A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.

（4）中心在原点，一个焦点为（0，4）且过点（3，0）的椭圆的方程是（　）

A. 　　　B.

C. 　　　D.

（5）函数的定义域是（　）

A. 　　　B.

C. 　　　D.

（6）函数的反函数为（　）

A. 　　　B.

C. 　　　D.

（7）设命题甲：，命题乙：直线与直线平行，则（　）

A. 甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件

B. 甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件

C. 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

D. 甲是乙的充分必要条件

（8）已知复数，则的虚部为（　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

（9）下列各选项中，正确的是（　）

A. 是偶函数

B. 是奇函数

C. 是偶函数

D. 是奇函数

（10）设，则（　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

（11）的展开式中的常数项为（　）

A. 6　　B. 12　　C. 15　　D. 30

（12）若α，β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过A且与α和β都平行的直线（　）

A. 只有一条　　　B. 只有两条

C. 只有四条　　　D. 有无数条

（13）已知向量满足，且a和b的夹角为120°，则（　）

A. 　　B. 　　C. 6　　D.

（14）8名选手在有8条跑道的运动场进行百米赛跑，其中有2名中国选手。按随机抽签方式决定选手的跑道，2名中国选手在相邻的跑道的概率为（　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

（15）设为任意角，则圆的圆心轨道是（　）

A. 直线　　B. 圆　　C. 椭圆　　D. 双曲线

第II卷（非选择题，共75分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

（16）过点（2，1）且与直线垂直的直线的方程为_____________。

（17）函数的导数_____________。

（18）从一批袋装食品中抽取5袋分别称重，结果（单位：g）如下：

98.6，100.1，101.4，99.5，102.2

该样本的方差为_____________（　）（精确到）。

（19）已知球的半径为1，它的一个小圆的面积是这个球表面积的，则球心到这个小圆所在的平面的距离是_____________。

三、解答题：本大题共5小题，共59分。解答应写出推理、演算步骤。

（20）（本小题满分11分）

（I）把下面表中x的角度值化为弧度值，计算的值并填入表中：

（II）参照上表中的数据，在下面的平面直角坐标系中画出函数在区间上的图象。

（21）（本小题满分12分）

已知点在曲线上。

（I）求的值；

（II）求该曲线在点A处的切线方程。

（22）（本小题满分12分）

已知等比数列的各项都是正数，，前3项和为14。

（I）求的通项公比；

（II）设，求数列的前20项的和。

（23）（本小题满分12分）

如图，已知正三棱锥P—ABC中，△PAB为等边三角形，E、F分别为PA，PB的中点。

（1）求证：PC⊥EF；

（2）求三棱锥P—EFC与三棱锥P—ABC体积的比值。

（24）（本小题满分12分）

如图，已知椭圆与双曲线

（I）设分别是的离心率，证明；

（II）设是长轴的两个端点，在上，直线与的另一个交点为Q，直线与的另一个交点为R。证明QR平行于y轴。

2005年成人高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）试题参考答案和评分参考

说明：

1. 本解答给出了每题的一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。

2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：每小题5分，共75分。

（1）A　　（2）B　 　（3）B　　（4）A　　（5）D

（6）C　　（7）D　　 （8）C　　（9）B　　（10）D

（11）C　 （12）A　 （13）D　　（14）B　 （15）C

二、填空题：每小题4分，共16分。

（16）

（17）

（18）1.7

（19）

三、解答题：共59分。

（20）本小题满分11分。

解：（I）

（II）

……11分

（21）本小题满分12分。

解：（I）因为

所以……4分

（II）

……8分

曲线在其上一点处的切线方程为

即……12分

（22）本小题满分12分。

解：（I）设等比数列的公比为q，则

即

所以（舍去）……4分

通项公式为……6分

（II）

设

……10分

……12分

（23）本小题满分12分。

解：（I）取AB中点D，连结PD，CD……2分

因为△PAB，△CAB是等边三角形

所以AB⊥PD，AB⊥CD

可得AB⊥平面PDC，所以PC⊥AB

又由已知可得EF∥AB，所以PC⊥EF……6分

（II）因为△PEF的面积是△PAB的面积的，又三棱锥C—PEF与三棱锥C—PAB的高相同，可知它们的体积的比为1：4，所以三棱锥P—EFC与三棱锥P—ABC的体积的比值为。

（24）本小题满分12分。

证明：（I）由已知得：

……3分

又，可得

所以，…………5分

（II）设

由题设，

将<1>两边平方，化简得：

由<2><3>分别得：

……8分

代入<4>整理得：

即

同理可得：

所以，所以QR平行于y轴。……12分