1. 点的位置与点的坐标。

平面直角坐标系的建立使点的坐标与点的位置之间有了相互依存的关系，这是数形结合的基础。点在直角坐标系中的位置实际上含两个方面：一是点在直角坐标系中所位于的象限（或位于x轴，y轴上），即位置在某一指定的范围（也就是定范围）；二是点到两坐标轴的距离（也就是定数量）。点的坐标也含两个方面：一是符号，二是绝对值。

2. 具有特殊位置关系的两点。

设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)。

重点、难点：

重点是熟练地、正确地画出直角坐标系，能够在直角坐标系中比较熟练地根据坐标找出对应点，由点确定对应的坐标。直角坐标系的基础知识是学习全章的基础，在后面学习函数的图象以及一些具体函数的图象时，都要应用这些知识；同时，也逐步强化了对这些知识的理解。

难点是通过直角坐标系中点与坐标之间的互相依存的关系，渗透数形结合的思想，用数形结合的观点，解决问题。另外坐标既有范围，又有数量；既有符号，又有绝对值；这就需要分类讨论，因此分类讨论的思想也是直角坐标系的难点之一。

【例题分析】

例1：的夹角为，求A、O、B三点的坐标。

分析：此题没有给出图形，应该用分类讨论的思想，分几种情况讨论：

(1)解：过点A作

(2)解：如图：

(3)解：如图：

(4)解：如图：

例2：已知点M(2x＋3，x－4)在第四象限，化简：

解：依题意，得

小结：依据点在坐标系中的位置构造关于x的不等式，求出x的范围是解此类题的关键。

例3：已知一条直线与直角坐标系中两轴交于点A(－6，0)和点B(0，m)，且此直线与两坐标轴围成的三角形面积为9平方单位，求点B的坐标。

分析：由点B的横坐标为0可知点B在y轴上，但点B具体在y轴的正、负半轴还须分类讨论。由OB=|yB|=|m|可利用面积公式构造关于m的绝对值方程，解出两个解，这样对点的位置的讨论可以转化为对方程解的讨论。

略解：依题意，得

解得：

例4：如图：以A(3，0)为圆心，以5为半径画一圆，写出圆与坐标轴交点的坐标。

解法1：设⊙A与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点。

解法2：设⊙A与x轴交于B(x，0)，与y轴交于D(0，y)。

小结：此例给出了两种解法。解法1是先用几何性质求出线段长（点到轴的垂线段的长），再由点的位置写出点的坐标；解法2是先根据点在坐标轴上点，设出点的坐标（含有未知数），再由坐标轴上两点间距离公式程，通过求方程的解使问题得解，这是求点坐标的两种常用思路。

例5：已知点P的坐标为(x＋2，2x－5)，⊙P和两坐标轴都相切，求圆心P的坐标。

分析：由⊙P和两坐标轴都相切得知点P到两坐标轴的距离相等，则点P的横、纵坐标的绝对值相等。

解：由题意，得|x＋2|=|2x－5|。

例6：在直角坐标系中，已知根据下列条件，求出

(1)A、B两点关于x轴对称；

(2)A、B两点关于y轴对称；

(3) A、B两点关于原点对称；

(4)直线AB平行于x轴；

(5)直线AB平行于y轴。

解：由题意，得：

例7：已知点P(x，x+y)与点Q(2y，6)关于原点对称，求点P关于x轴对称的点M的坐标及点Q关于y轴对称的点N的坐标。

解：由题意，得

例8：如图，四边形AOCB是直角梯形，AB//OC，OA=10，AB=9，，

求点A、B、C的坐标及直角梯形AOCB的面积。

解：

小结：点的横坐标的绝对值是这个点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是这个点到x轴的距离，对于这方面的知识在解题时常会碰到，既要会正用，也要会逆用。

【考点解析】

1. 已知点在第一象限内两条坐标轴夹角的平分线上，则＿＿＿＿＿＿。

分析：如果点在第一、三象限的角平分线上，那么点的横坐标和纵坐标相等；如果点在第二、四象限的角平分线上，那么点的横坐标和纵坐标互为相反数。

解：点在第一象限内两条坐标轴夹角的平分线上，点的横坐标和纵坐标相等，所以3。

点评：从平面直角坐标系开始，我们增加了［考点解析］这一新的栏目，目的是让同学们了解本周教育内容在中考当中有什么样的要求，相关的题目是什么，有计划、有重点地进行学习和复习。平面直角坐标系的知识点要求是会由坐标确定点，会由点确定坐标。

2. 点关于轴的对称点的坐标为（）

(A) (B) (C) (D)

分析：如果两个点关于轴对称，那么这两个点横坐标相等，纵坐标互为相反数；如果两个点关于轴对称，那么这两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等；如果两个点关于原点对称，那么这两个点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。前两种情况两点成轴对称，后一种情况两点成中心对称。

解：点关于轴的对称点的坐标为，所以应该选择(A)。

点评：本题目的是让同学们掌握关于轴、轴、原点对称的点的坐标间的关系。

3. 点与点关于原点对称，则点在第＿＿＿象限。

分析：本题有两种方法：第一种方法是不求点坐标，由点所在象限和点、点关于原点对称来判断点所在象限；第二种方法是求出点的坐标，由点的坐标来判断它所在象限。

解：方法一：点坐标，点在第二象限。

点与点关于原点对称，点在第四象限。

方法二：点坐标

又点和点关于原点对称，

点坐标

点在第四象限。

点评：本题考查学生两方面的知识，一方面是关于原点对称的两个点坐标间的关系，另一方面是各个象限的点的坐标有什么特征。第一象限的点横坐标为正数，纵坐标为正数；第二象限的点横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限的点横坐标为负数，纵坐标为负数；第四象限的点横坐标为正数，纵坐标为负数，另外要注意各象限内的点与坐标轴上的点有区别：在轴上的点横坐标为任意实数，纵坐标为零，在轴上的点横坐标为零，纵坐标为任意实数。

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 已知x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为()

A. (3，0)　　　　　　　　　B. (0，3)

C. (3，0)或(－3，0)　　　　D. (0，3)或（0，－3）

2. 已知点P()在第四象限，则x的取值范围是()

A. x>2　　　　　　　　　　　B. 　　　　　　　C.

3. 已知点P(0，a)在y轴的负半轴上，则点()

A. 第一象限　　　　　　　　B. 第二象限　　　　　　　C. 第三象限　　　　　　　D. 第四象限

4. 已知中关于y轴对称的点是()

A. A与B，C与D　　　　　　　B. A与C，B与D

C. A与D，B与C　　　　　　　D. A与B，B与C

5. 若点Q(a，b)在y轴左侧，且点Q到x轴的距离等于3，到y轴的距离等于4，则点Q的坐标为()

6. 已知点P(m，|m|)，则点P一定()

A. 在第一象限　　　　　　　　　 　　B. 在第一或第四象限

C. 在x轴上方　　　　　　　　　　　　D. 不在x轴下方

7. 若点P(x，y)在第二象限，且|x-1|=2，|y+3|=5，则点P的坐标为()

8. 已知点P是直线上的点，这条直线平行于x轴，而且到x轴的距离是4，P点到y轴的距离是3，则满足以上条件的点P的个数()

A. 5个　　　　　　B. 4个　　　　　　C. 3个　　　　　　　D. 2个

9. 已知点是关于x轴的对称点，则ab=()

A.

10. 在直角坐标系中，两圆的圆心都在y轴上，并且两圆相交于A、B两点，若点A坐标为则点B的坐标为()

11. 已知锐角关于原点对称，则此三角形为()

A. 等腰三角形　　　　　　　　　　B. 锐角(非等腰)三角形

C. 钝角(非等腰)三角形　　　　　　D. 直角(非等腰)三角形

12. 如果点M(3a－9，1－a)是第三象限的整数点，那么点M的坐标为()

A. (1，3)　　　　　B. (3，1)　　　　　　C.

二. 填空题：

1. 点A在第二象限内，且到x轴的距离为5，到原点的距离为13，则点A的坐标为

____________。

2. 已知点A(B(2，)，第三象限有一点P到x轴距离与点A到x轴距离相同，点P到y轴距离与点B到y轴距离相同，则点P的坐标为_____________。

3. 已知点A，若A、B两点关于x轴对称，则a=________、b=_________。

4. 已知半径为的圆和两坐标轴都相切，则圆心坐标为_________。

5. 已知点P()在第三象限，点，则

(1)点P’在第_____象限；

(2)点P与点P’关于________轴对称；

(3)点P与P’之间的距离为________。

6. 如果点M(a，b)在第二象限，那么a_____0，b______0；

　 如果点N(c，d)在第四象限，那么c_____0，d______0。

7. 已知点M(0，a)，点N()，则点M在________轴上，点N在_______轴上。

8. 已知点P()到y轴距离为2，则a=________，点P到x轴的距离为________。

三. 解答题：

1. 如图，已知正三角形ABC在平面直角坐标系中的位置，边长为4，求B、C的坐标，及

2. 矩形的边长为4与6，一个顶点在坐标原点上，一条边在x轴负半轴上，求矩形四个顶点的坐标。

3. 一个正三角形的边长为2，一个顶点在坐标原点上，一条边在y轴负半轴上，求三角形三个顶点的坐标。

4. 如图，正方形OBCD的边长等于4，其中边OB与x轴正半轴的夹角为，O是坐标原点，求正方形各顶点坐标。

5. 如图：

(1)求点C的坐标；

(2)过点C作CD//AB交y轴于D，求点D的坐标。

(3)过点C作于E，求点E的坐标。

6. 圆O的半径r=4，以O为原点建立直角坐标系，A是x轴上一点，且A(8，0)，若AB切⊙O于B，求B点坐标。

7. 平行四边形ABCD，若点A在坐标原点，AB与x轴负半轴的夹角为，求平行四边形各顶点的坐标。

【疑难解答】

A. 教师自己设计问题：

1. 解答题的第6题应如何分类讨论？

2. 解答题的第7题有几种情况？

B. 对问题的解答：

1. 答：

此题可证，由相似三角形对应边成比例可求得OB’、BB’的长或由，求得OB’，BB’的长，由对称性可求另一个B点的坐标。

2. 答：此题可有四种情况，如以下四图：

图(1)和图(2)中，可证点D在y轴上，。

图(3)和图(4)中，易求出点A、B、D的坐标，可证

得BE=DD’=

【试题答案】

一.

1. C　　2. C　　3. B　　4. B　　5. C

6. D　　7. A　　8. B　　9. C　 10. B

11. D12. D

二.

三.

1.

2. (1)长边在x负半轴上，矩形在二象限内

(0，0)，(0，4)，(－6，0)，(－6，4)

(2)长边在x负半轴上，矩形在三象限内

(0，0)，(0，－4)，(－6，0)，(－6，－4)

(3)短边在x负半轴上，矩形在二象限内

(０，０) ，(－4，0)，(0，6) ，(-－4，6)

(4)短边在x轴负半轴上，矩形在三象限内

(0，0) ，(－4，0) ，(0，－6) ，(－4，－6)

3. 当三角形一个顶点在第三象限时，三个顶点坐标(0，0)、。

当三角形一个顶点在第四象限时，三个顶点坐标(0，0)、。

4.

5.

6. 当切点B在第一象限时，B()；

当切点B在第四象限时，B()。