二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13、一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图和左视图是腰长为4   的两个全等的等腰直角三角形.则该几何体的体积是            .
14、若,则              .
15、买4斤苹果和5斤梨的价格之和不小于20元，而买6斤苹果和
3斤梨的价格之和不大于24元，则买3斤苹果和9斤梨至少需
要                 元.
16、给出下列命题：
①若成等比数列；
②已知函数的某两个交点的横坐标为；
③函数至多有一个交点；
④函数
其中正确命题的序号是                               .
三、解答题：本大题共6小题，17-21小题每小题12分，22题14分，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、已知向量,定义.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数的最大值及取得最大值时的的取值集合.
18、设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且，.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 若，为数列的前项和. 求证：.

19、在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为.
(1)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为个,求的分布列及数学期望.

20、如图，正方形所在的平面与平面垂直，
是和的交点，，且．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角的大小；
(3)求二面角的大小．

21、已知函数
(1)若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围;
(2)若函数的图象在处的切线的斜率为0，且，若.
22、已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（3）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.

山东省实验中学第三次诊断性测试
数学理科参考答案：

一： BCABC   CDCAD   CA       二：13.   14.256   15.22   16.③④
三：17．（1）
    ……………4分
…………………………………………… 6分

所以，函数………………9分
（2）函数
所以，函数……12分

18. 解：（1）由，令，则，又，所以.
，则.………………………………………………………2分
当时，由，可得. 即.  …3分
所以是以为首项，为公比的等比数列，于是.………………4分
（2）数列为等差数列，公差,可得.…………6分
从而.                     ……………………………………7分
∴ 

∴.  ………………10分
从而.  　          ………………………………………12分
19.解: (Ⅰ)设事件表示“甲选做14题”,事件表示“乙选做14题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”,且事件、相互独立
∴ =……………6分
(Ⅱ)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4.且.
∴           ……………8分
所以变量的分布列为

	0	1	2	3	4

….10分
 或     …….12分
20．解法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形，
．   ………………………1分
∵平面平面，又∵，
平面．          ……………………2分
平面，．……………3分
平面．            ………………4分
(Ⅱ)连结，
平面，
是直线与平面所成的角．  …………………………………………5分
设，则
，，              ……………………………………………6分， ．  即直线与平面所成的角为…8分
(Ⅲ)过作于，连结．   …………………………………………9分
平面，．平面．
是二面角的平面角． ……10分
∵平面平面，平面．
．
在中， ，有．
由(Ⅱ)所设可得
，，
．             ……………………………………………10分
．．
∴二面角等于．               ………………………………………12分
解法二: ∵四边形是正方形 ，，
∵平面平面，平面，                     …………2分
∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，
是正方形的对角线的交点，．……………4分
(Ⅰ) ，，，
，                   …………………………………4分
平面．     ………………………………5分
(Ⅱ) 平面，为平面的一个法向量，………………………6分
，．…………………7分
．∴直线与平面所成的角为．      ……………8分
(Ⅲ) 设平面的法向量为，则且，
且．
      即
取，则， 则．    ……………………………………………10分
又∵为平面的一个法向量，且，
，设二面角的平面角为，则，．∴二面角等于．………… 12分
21．（１），（２分）
①当时，则有恒成立。即
②当时，由x>0,知恒成立；
内为单调函数，的取值范围为..….….5分
（2）函数的图象在处的切线为斜率为0，
，    ………8分
用数学归纳法证明：（Ⅰ）当时，，不等式成立；
（Ⅱ）假设当时时，不等式成立，即那么，

也就是说，当时，，根据（Ⅰ）（Ⅱ）对于所有有，                                  ………………………….12分
22．