本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。全卷满分150分。考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题  共40分）
一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1、i是虚数单位，复数等于（    ）
A、1+i                  B、                C、                   D、
2、已知，且，则的值为（    ）
A、             B、            C、                  D、
3、设，则“”是“”的（    ）
A、充分不必要条件                         B、必要不充分条件
C、充分必要条件                           D、既不充分也不必要条件
4、已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若上有两个点到的距离相等，则；
④若，则。
其中正确命题的序号是（   ）
A、①②　　　    　B、①④　　    　　C、②④　　   　　D、③④
5、函数的图象与函数的图象关于（    ）
A、点对称                              B、直线x=1对称
C、点（1，0）对称                          D、直线对称
6、在北纬45°的纬线圈上有A、B两地，A地在东经110°处，B地在西经160°处，设地球半径为R，则A、B两地的球面距离是（    ）
A、               B、                C、                    D、
7、身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（   ）
A、48种            B、72种           C、78种            D、84种
8、设定义在上的函数的反函数为，且对于任意的，都有，则等于（   ）
A、0                B、－2              C、2               D、

第Ⅱ卷  （非选择题  共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。
9、_______________。
10、的展开式中常数项的值为_______________。
11、已知数列的前n项和为，且，则等于_______________。
12、已知向量满足，且，则与的夹角是__________。
13、函数的最小正周期为__________。
14、定义在上的函数，满足，且，则f(22)= __________。

三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15、（本题满分13分）
在中，。
（1）求的值；
（2）求的值。
16、（本题满分13分）
已知数列是首项为，公比的等比数列，是其前项和，且成等差数列。
（1）求公比的值；
（2）设，求。
17、（本题满分13分）
如图，在正方体ABCD—中，E为AB的中点。
（1）求直线与DE所成角的余弦值；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值；

18、（本题满分13分）
某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班的同学和2个B班的同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲乙两景点各有一个同学交换景点观光。
（1）求交换后甲景点恰有2个A班同学的概率；
（2）求交换后甲景点A班同学数的分布列及期望；
19、（本题满分14分）
已知函数（其中a、、、、）为偶函数，它的图象过点，且在处的切线方程为。
（1）求函数的表达式；
（2）若对任意，不等式总成立，求实数的取值范围。
20、（本题满分14分）
已知集合。
（1）求A；
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为，问是否存在实数a使得对于任意的，均有。若存在，求出a的取值范围。若不存在，说明理由。

【试题答案】
北京市宣武区2007—2008学年度第一学期期末质量检测
高三数学（理）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1、C          2、D             3、A              4、C
5、B          6、B              7、A              8、A

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。
9、             10、15           11、128         12、
13、                     14、

三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15、（本题满分13分）
解：（1）在△ABC中，由，得。
由正弦定理：，
得：…………………………………………………………5分
（2）令，则由余弦定理：

得：，得，
解得x=2或（舍去）。

∴
………………………………………………………13分
16.（本题满分13分）
解：（1）成等差数列，

   




…………………………………………………………………6分
（2）

        

         
………………………………………………………………13分

 17、（本题满分13分）
解法1：（1）连结，则由知，与DE所成角即为A1D与DE所成角。
连结A1E。由正方体，可设其棱长为a，
则，
∴，
即直线与DE所成角的余弦值是。                 ……………………3分
（2）取的中点F，B1D的中点G，连结BF，EG，GF。
∵CD⊥平面，且
∴DC⊥BF。
又∵BF⊥B1C，CD，∴BF⊥平面
∵，，
∴
∴四边形BFGE是平行四边形，
∴BF//GE
∴GE⊥平面
∵
∴平面                      …………………………8分
（3）连结EF。
∵CD⊥
∴GF⊥
又∵EG⊥平面
∴EF⊥
∴∠EFG是二面角的平面角。
设正方体的棱长为a，则在△EFG中，，
∴
∴二面角的余弦值为         ………………………………13分

解法2：如图所示建议空间直角坐标系D—xyz。
设D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（2，2，2）
则E（2，1，0）。
（1）∵
∴

∴DE与所成角的余弦值为………………………………3分
（2）取的中点F，连结EF。
∵F（1，1，1），E（2，1，0）
∴

又∵CD与相交于点C
∴EF⊥平面
∵EF
∴平面⊥平面…………………………………………8分

（3）设平面的一个法向量
由
解得a=0，b=
∴
设平面的一个法向量
由
解得
∴
∴
∴二面角的余弦值为………………………………13分
  18、（本题满分13分）
解：（1）甲乙两景点各有一个同学交换后，甲景点恰有两个A班同学有下面几种情况：
①互换的是A班同学，此时甲景点恰好有两个A班同学的事件记为A1，
则
②互换的是B班同学，此时甲景点恰好有两个A班同学的事件记为A2，
则
故甲景点恰有两上A班同学的概率……6分
（2）设交换后甲景点内A班同学数为，则；

因而的分布列为：

	1	2	3
P

………………………………13分
19、（本题满分14分）
解：（1）∵f(x)是偶函数
∴恒成立
即恒成立
∴b=0，d=0
即
又由图象过点，可知，即
又，由题意知函数在点（1，0）的切线斜率为
故且
，且a+c=1，可得
∴…………………………………………7分
（2）由恒成立，且恒大于0，可得恒成立，
令
现设，则

（当且仅当时，“=”号成立）。
的最大值为
故实数t的取值范围是……………………………………14分
20、（本题满分14分）
（1）由，
得，
时，
时，
时，
∴当a>1时，；
时，；
时，………………………………6分
（2）①当时，
而当时，
若，则
得
此不等式组的解集为空集。
故时，不存在满足条件的实数a。
②当时，
而是关于n的增函数。
且，故
故对任意的，要使，只需a满足
解得
③当时，
显然，故不存在实数a满足条件。
④当时，
，适合。
⑤当时，


∵
∴


又∵


而
故
故对任意的，要使
只需，即
解得
综上所述，a的取值范围是
…………………………………………14分