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一. 本周教学内容：
全等三角形
［学习内容］
1. 三角形全等的定义。
2. 三角形全等的识别方法。
［知识讲解］
一. 三角形全等
定义：如图△ABC和△DEF能够完全重合，那么△ABC和△DEF就是全等三角形。可记作△ABC≌△DEF，读作三角形ABC全等于三角形DEF。其中对应顶点是A和D，B和E，C和F；对应角是∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F；对应边是AB和DE，AC和DF，BC和EF。
注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：把其中一个图形通过旋转、翻转或平移，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上。
二. 三角形全等的识别方法。
1. 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS。
2. 如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS。
3. 如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA。
4. 如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS。
5. 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL。
三. 不能判定三角形全等的方法。
以下两种方法是不能判定三角形全等的，有些同学容易混淆。
1. “SSA”
举反例：
如图AC＝AD
△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD
∠B＝∠B，但显然△ABC与△ABD不全等。
2. “AAA”
举反例：形状相同，但大小不同的三角板。
【典型例题】
例1. 如图，△AOC≌△BOD，∠A和∠B是对应角，AO和BO是对应边，写出其它的对应角，对应边。
解：∠C和∠D，∠COA和∠DOB是对应角。
AC和BD，CO和DO是对应边。
说明：此题同学们容易出现的错误是认为∠C与∠B是对应角，∠A与∠D是对应角。
例2. 如图①所示，已知AC＝AD，AE平分∠CAD，问：在AE上任取一点F，连结FC、FD所构成的两个三角形全等吗？在AE的反向延长线上取得的点呢？
图①
解：（1）全等，如图②所示，
图②
在△ACF与△ADF中
∴△ACF≌△ADF（SAS）
（2）
图③
答：全等
如图③所示，∠CAF＝180°－∠1，∠DAF＝180°－∠2
∵∠1＝∠2
∴∠CAF＝∠DAF
在△CAF与△DAF中
∴△CAF≌△DAF（SAS）
说明：在用全等的识别方法说明问题时，要用以上的格式书写。
例3. 如图，已知DC∥AB，且DC ，E为AB的中点，求证△AED≌△EBC
证明：∵DC∥AB
∴DC∥AE，DC∥BE
∵E为AB中点
∴AE＝CD＝BE
∴四边形EBCD，AECD是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴ED＝BC，AD＝EC
（平行四边形对边相等）
在△AED与△EBC中
∴△AED≌△EBC（SSS）
例4. 如图，已知在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE＝CF。
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）过点C作CG∥EA交AD于G，AF于H，若∠BAE＝25°，∠BCD＝130°，求∠AHC的度数。
解：（1）证明：在菱形ABCD中
BC＝CD＝AB＝AD，∠B＝∠D（菱形的性质）
∵CE＝CF
∴BC－CE＝CD－CF
∴BE＝DF
在△ABE与△ADF中
∴△ABE≌△ADF（SAS）
（2）∵△ABE≌△ADF（已证），∠BAE＝25°
∴∠BAE＝∠DAF＝25°
在菱形ABCD中
∠BAD＝∠BCD＝130°（菱形对角相等）
∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF
＝130°－25°－25°
＝80°
∵AE∥CG
∴∠EAF＋∠AHC＝180°
∴∠AHC＝180°－∠EAF＝180°－80°＝100°
例5. 如图所示，D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且BF＝CE。
求证：（1）△ABC是等腰三角形
（2）∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论。
解：（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠BFD＝∠DEC＝90°
∵D为BC中点
∴BD＝DC
在Rt△BFD与Rt△CED中
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）
∴∠B＝∠C
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形
（2）当∠A＝90°时，四边形AFDE是正方形
∵∠AFD＝∠AED＝∠A＝90°
∴四边形AFDE是矩形
∵△BFD≌△CED
∴FD＝ED
∴四边形AFDE是正方形
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、填空题
1. 如图1所示，△ADE是由△ABC绕点A旋转而得，则这两个三角形的对应边是_______＝_______，_______＝_______，_______＝_______；对应角是_______＝_______，_______＝_______，_______＝_______。
图1
2. 如图2所示，AC，BD交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形有_______对。
图2
3. 判定两个三角形全等至少需要有_______条边对应相等，最多只要_______个角对应相等。
二、选择题
1. 下列各组图形中一定全等的是（ ）
A. 各有一个角是45°的两个等腰三角形
B. 两个等边三角形
C. 各有一个角是40°，腰长都为3cm的两个等腰三角形
D. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
2. 判定两个等边三角形全等，可用最简单条件为（ ）
A. 一个角对应相等
B. 一条边对应相等
C. 一边一角对应相等
D. 两边和夹角对应相等
3. 如图3所示。已知△ABC≌△BAD，点A、C的对应顶点分别为点B、D。如果AB＝7cm、BC＝5cm，AC＝10cm，那么BD等于（ ）
图3
A. 10cm B. 7cm
C. 5cm D. 无法确定
4. 如图4所示，MP⊥NP于P，MQ为△NMP的角平分线，MT＝MP，连结TQ，则下列结论中不正确的是（ ）
图4
A. TQ＝PQ B. ∠MQT＝∠MQP
C. ∠QTN＝90° D. ∠NQT＝∠MQT
三、判断题
1. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等；（ ）
2. 全等三角形对应角的角平分线相等；（ ）
3. 有两边对应相等的两个直角三角形全等；（ ）
4. 有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等；（ ）
5. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；（ ）
四、证明题
1. 如图5所示，已知AC∥FD，AF∥DC，BF∥EC。
图5
求证：△AFB≌△DCE。
2. 如图6所示，已知△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D。求证：∠B＝∠C。
图6
3. 如图7所示，已知AD＝BC，AE＝CF，AD∥BC。求证：AF＝CE。
图7
【试题答案】
一、填空题
1. AEAC；ADAB；EDCB；∠E∠C；∠ADE∠B；∠EAD∠CAB
2. 3
3. 一两
二、选择题
1. D 2. B 3. A 4. D
三、判断题
1. × 2. √ 3. √ 4. √ 5. ×
四、证明题
1. 证明：因为AC∥FD，AF∥DC，BF∥EC
所以四边形ACDF和四边形FBCE都为平行四边形
所以∠A＝∠D，AF＝DC，DF＝AC，EF＝BC
所以ED＝BA，因此△AFB≌△DCE。
2. 证明：因为AB＝AC，AD⊥BC，
所以AD是等腰三角形ABC的对称轴
所以∠B＝∠C
3. 证明：因为AD＝BC，AD∥BC
所以四边形ABCD为平行四边形
所以AB∥CD
又AE＝CF
所以四边形EAFC为平行四边形
因此AF＝CE
【励志故事】
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