本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。
　　第I卷（选择题共40分）
　　一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
　　1. 计算得（　 ）
　　A. 　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　 D.
　　2. 过点的直线l经过圆：的圆心，则直线l的倾斜角大小为（　 ）
　　A. 30°　　　　　　　 B. 60°　　　 　 C. 150°　　　　 D. 120°
　　3. 函数的反函数为（　 ）
　　A. 　　　　　　 　B.
　　C. 　　　　　　　　　D.
　　4. 设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面。给出下列四个命题：
　　①若m⊥，，则；　　　　 ②若，则；
　　③若，则；　　　　　　④若，则。
　　其中正确命题的序号是：（　 ）
　　A. ①和②　　　　　　　　　 　 B. ②和③
　　C. ③和④　　　　　　　　　 　 D. ①和④
　　5. 从3名男生和3名女生中，选出3名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则选派方案共有（　 ）
　　A. 19种　　　　　 　 B. 54种　　　　　 　 C. 114种　　　　 D. 120种
　　6. ，则“”是“”的（　 ）
　　A. 充分非必要条件　　　　　　　　 B. 必要非充分条件
　　C. 充分必要条件　　　　　　　　　 D. 既非充分也非必要条件
　　7. 定点N（1，0），动点A、B分别在图中抛物线及椭圆的实线部分上运动，且AB//x轴，则△NAB的周长l取值范围是（　 ）
　　A. 　　　　　　　B. 　　　　 C. 　　　　 D. （2，4）
　　
　　8. 已知函数。若实数a、b使得f(x)=0有实根，则的最小值为（　 ）
　　A. 　　　　　　 　B. 　　　　　　　　C. 1　　　　 D. 2
　　
　　第II卷（共110分）
　　二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
　　9. 已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为_________。
　　10. 四面体ABCD中，E是AD中点，F是BC中点，AB=DC=1，，则直线AB与DC所成角的大小为_________。
　　11. 已知平面向量。当时，的值为_________；若，则实数的值为_________。
　　12. 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为_________。
　　13. 已知定义在正实数集上的连续函数，则实数a的值为_________。
　　14. 某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的。 　

1	1	1	1	1	1	…
1	2	3	4	5	6	…
1	3	5	7	9	11	…
1	4	7	10	13	16	…
1	5	9	13	17	21	…
1	6	11	16	21	26	…
…	…	…	…	…	…	…

　　 此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式为________；编码100共出现________次。 三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
　　15. （本小题共12分）
　　已知函数。
　　（I）求函数f(x)的最小正周期；
　　（II）当时，求函数f(x)的最大值、最小值。
　　16. （本小题共13分）
　　一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收。抽检规定是这样的：一次取一件产品检查，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品，而前三次中只要抽查到次品就停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品。
　　（I）求这箱产品被用户拒绝接收的概率；
　　（II）记表示抽检的产品件数，求的概率分布列。
　　17. （本小题共14分）
　　四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°。
　　（I）求证：BC⊥平面PAC；
　　（II）求二面角D—PC—A的大小；
　　（III）求点B到平面PCD的距离。
　　
　　18. （本小题共14分）
　　已知函数。
　　（I）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
　　（II）若不等式对任意恒成立，求a的取值范围。
　　19. （本小题共13分）
　　如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB⊥x轴于点C，，动点M到直线AB的距离是它到点D的距离的2倍。
　　（I）求点M的轨迹方程；
　　（II）设点K为点M的轨迹与x轴正半轴的交点，直线l交点M的轨迹于E，F两点（E，F与点K不重合），且满足，动点P满足，求直线KP的斜率的取值范围。
　　
　　20. （本小题共14分）
　　已知为数列的前n项和，且
　　（I）求证：数列为等比数列；
　　（II）设，求数列的前n项和；
　　（III）设，数列的前n项和为，求证：。

【试题答案】
　　 海淀区高三年级第二学期期中练习
　　 数学（理科）参考答案及评分标准

一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
　　1. B　　　　 2. D　　　3. C　　　4. D　　　5. C　　　6. B　　　7. B　　　8. A

二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
　　9. 3　　　　　　 10. 　　　　　　 11. 　　　　　　　12.
　　13. 　　　　 14.

三. 解答题（本大题共6小题，共80分）
　　15. （本小题共12分）
　　解：（I）　　　　　　　　　　　　　3分
　　的最小正周期为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分
　　（II）　　　　　　　　　　　 7分
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　10分
　　
　　当时，函数最大值为1、最小值为　　　　　　　 12分
　　16. （本小题共13分）
　　解：（I）设这箱产品被用户拒收事件为A，被接收为，则由对立事件概率公式
　　
　　得：
　　即这箱产品被用户拒绝接收的概率为　　　　　　　　　　　　　　　5分
　　（II）的可能取值为1，2，3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　的分布列为　

	1	2	3
P

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分
　　17. （本小题共14分）
　　解法一：
　　证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD，
　　∴PA⊥BC
　　∵∠ACB=90°
　　∴BC⊥AC
　　又
　　∴BC⊥平面PAC　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　解：（II）∵AB//CD，∠DAB=120°
　　∴∠ADC=60°，又AD=CD=1
　　∴△ADC为等边三角形，且AC=1　　　　　　 5分
　　取AC的中点O，则DO⊥AC
　　∵PA⊥底面ABCD
　　∴PA⊥DO
　　∴DO⊥平面PAC
　　过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH，由三垂线定理知DH⊥PC
　　∴∠DHO为二面角D—PC—A的平面角　　　　　　　　　　　　 7分
　　由　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　
　　∴二面角D—PC—A的大小为arctan2　　　　　　　　　　　　　　9分
　　（III）设点B到平面PCD的距离为d
　　∵AB//CD，平面PCD
　　∴AB//平面PCD
　　∴点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离　　　　　 11分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分
　　
　　解法二：
　　证明：（I）同解法一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　解：（II）取CD的中点E，则AE⊥CD
　　∴AE⊥AB
　　又PA⊥底面ABCD，底面ABCD
　　∴PA⊥AE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分
　　建立空间直角坐标系，如图。则

A（0，0，0），
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分
　　设为平面PAC的一个法向量
　　为平面PDC的一个法向量，则
　　，
　　可取；
　　，可取　 9分
　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　
　　故所求二面角的大小为　　　　　　　　　　　　　 11分
　　（III）又B（0，2，0），　　　　　　　　　　　　　　 12分
　　由（II）取平面PCD的一个法向量
　　∴点B到平面PCD的距离为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分
　　18. （本小题共14分）
　　解：对函数f(x)求导得：　　　　　　　　　　2分
　　（I）当a=2时，
　　令解得x>1或x<－1
　　解得
　　所以f(x)的单调递增区间为
　　f(x)的单调递减区间为（－1，1）　　　　　　　　　　　　　　　　5分
　　（II）令，即，解得　　6分
　　由a>0可得
　　
　　8分
　　对于时，因为，所以
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
　　对于时，由表可知函数在x=1时取得最小值
　　所以，当时，　　　　　　　　　　　　　　12分
　　由题意，不等式对恒成立
　　所以得，解得　　　　　　　　　　　　　　　 14分
　　19. （本小题共13分）
　　解：（I）依题意知，点M的轨迹是以点D为焦点，直线AB为其相应准线，离心率为的椭圆 　　2分
　　设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
　　又
　　∴点D在x轴上，且，则
　　解之得：
　　∴坐标原点O为椭圆的对称中心
　　∴动点M的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
　　（II）设，直线EF的方程为，代入得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分
　　
　　　　　　　　　　　　 6分
　　，K点坐标为（2，0）
　　
　　
　　解得：（舍）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分
　　设，由知，
　　直线KP的斜率为　　　　　　　　　　　　　　　 10分
　　当m=0时，k=0（符合题意）；
　　当时，，
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分
　　综上所述，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分
　　20. （本小题共14分）
　　解：（I）
　　
　　是以2为公比的等比数列　　　　　　　　　　　　　　　　 3分
　　（II）
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
　　当n为偶数时，
　　
　　当n为奇数时，可得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分
　　综上，　　　　　　　　　　　 9分
　　（III）
　　当n=1时，
　　当时，
　　
　　综上所述，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分