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同学在列方程解应用题时,最难理解的是“找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系”这句话,可能成为一些同学学习列方程的障碍。在这里我们不妨改变一下说法,换个思考的角度,看以下介绍能否帮助同学们解决问题。
一. 依据一个量,列出方程
不用找相等关系了,只要在题目中确定一个量,用两种方法把它表示出来,中间用等号连接起来就可以了。
下面以我国古代算书《孙子算经》中的“雉兔同笼”题为例说明之。原题是这样的:
“今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足、问雉兔各几何?”意思是说:在同一笼子里,关着若干只鸡和兔子,它们共有35个头,94只脚、问鸡、兔各有几只?
先设出鸡有x只,然后确定一个量——脚的只数。题目已说明有94只脚,我们再用另一种方法把脚的只数表示出来:
鸡有x只,兔子应该有(35-x)只,
总脚数就是
所以得到 ,即列出了方程。
随着确定的量的不同,列出的方程也是不同的,这种方法很容易得出一个题的多种解法,如确定的量是
——兔的只数,一种表示法:
鸡有x只,兔有(35-x)只;
另一种表示法:
鸡有x只,鸡脚有2x只,
兔脚为(94-2x)只,
兔有(94-2x)÷4只,
因此方程为:
——鸡的只数。一种表示方法:
已经设出鸡有x只;
另一种表示法:
鸡有x只,兔有(35-x)只,
兔脚为 只,
鸡脚 只,
鸡有 只。
方程为: 。
——鸡兔共有的头数。第一种表示法:
题目中已知35头;
第二种表示法:
鸡有x只,鸡脚有2x只,
兔脚为(94-2x)只,
兔有 只,
鸡兔总共有 只,
方程为:
当然还可以选取其它的量,如鸡的脚数、兔的脚数等,从而列出相应的方程。在此不一一列举。
二. 从猜测到方程
这是一个俄罗斯十岁的男孩伏洛佳给出的。他是从猜测开始,即用猜测——验算——再猜测的方法来解这道题的。
先猜测一个结果——鸡21只,那么兔子应该是(35-21)只,总脚数应是
,故猜测不对。那就再猜一个结果——鸡22只,这时总脚数应该是 ,所以猜的也不对。于是再猜一个结果——鸡23只,这时总脚数为
,猜对了!
可是,我们能不能做到一猜就对呢?试试看。我们猜有x只鸡!
——x只,这是什么意思?
——它是一个字母,在这里表示鸡的只数。
——x是多少?
——暂时还不知道,它是一个未知数。可能是21,也可能是22,或者其它的数。
——x究竟是多少呢?
——这就要进行检验了,和伏洛佳的做法一起,我们把猜的答案放到题目中检验一下,看 是否成立?换个角度看,我们的任务就是求出使(1)式中等号成立的x的值。
——这(1)不就是方程吗?这种解法不就是列方程解应用题吗?
——是的!(1)就是关于x的方程。
你看,列方程解应用题不就是从猜测开始吗?
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