在新课程标准的指导下，教材也相应地较以往发生了变化。然而无论在哪种情况下，数学思想始终贯穿于整个教材，渗透于练习和习题之中。现以几例说明让学生初步感受数学思想的重要性。
　　一、分类讨论思想
　　例1. 平面上有不同的3点过其中每两个点画一条直线，可以画出的条数（　）
　　A. 1条　　　　B. 2条　　　　C. 3条　　　　D. 1条或3条
　　分析：由于三点在平面上的位置没有确定，所以应根据三点是否在同一条直线上分情况讨论：
　　（1）当三点在同一条直线上时，只能画一条直线。
　　（2）当三点不在同一条直线上时，过其中每两点可画一条共三条。
　　但本题并未说明三点是否在同一直线上，故应选D。
　　例2. 已知：线段AB＝100 cm，M为AB的中点，在AB所在直线上有一点P，N为AP的中点，若MN＝15 cm，求AP的长。
　　分析：根据题意中的所在直线就已经定性了，P点可能在直线上，也可能在延长线上。所以分情况讨论。
　　如图1，（1）当P在直线AB上，有N点在M点的左侧，如图

　则

　　　　（2）当P在直线AB延长线上，有N点在M点的右侧（如图2）

　　　则

　　　　　答：AP的长为70或130。
　　二、数形结合思想
　　例3. 如图3，已知∠AOC＝∠BOD＝80°，∠BOC＝36°，求∠AOD的度数。

分析：利用角的和、差，通过适当的转换应用数形结合思想，使问题得以解决。
　　法1：
　　
　　法2：根据图形知，减去重合的部分，有∠AOD＝∠DOB＋∠AOC－∠BOC。
　　例4. 已知点D是线段AB上一点，BD＝1.5厘米，延长AB至C，使BC＝2AD。若AC＝7.5厘米，求AB的长。
　　分析：该题利用线段间的关系，结合图形说明自然求解。
　　

图4

　　　
　　　
　　故有：
　　三、转化思想
　　例5. 有三条线段a、b、c，已知它们间长度关系为：a是b的2/3，c是b的3/2，求a、c的关系。
　　分析：由条件a与b，c与b的数量关系可得a与c的数量关系，只须把b作为中间量，将关系转化。
　　解：因为，所以
　　又因为
　　故有或或用比的方法来求：因为，因为，所以。
　　说明：本题利用特殊值法来解很方便，不妨取（2，3的最小公倍数），则，因而。
　　例6. 已知：如图5，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数。

分析：此题可将求∠DOE的度数，转化为求∠DOC和∠COE度数的和，然后再利用角的平分线定义将∠DOC和∠COE分别转化为和，而∠AOC和∠BOC恰好是一平角。
　　解：
　　
　　四、方程思想
　　例7. 一个角的余角是这个角的补角的，求这个角的度数。
　　分析：此题用方程求解较为简单，即应用方程思想来解决问题。
　　解：设这个角的度数为x，则它的余角为（90°－x），补角为（180°－x），依题意可得，解方程得：
　　答：这个角为67.5°。
　　例8. 已知，如图6，B、C、D是线段AE上的点，如果AB＝BC＝CE，D是CE的中点，BD＝6，求：AE的长。

分析：利用方程来解简单明了，也正体现方程思想的重要性。
　　解：设

　　　　则
　　依题意得：解方程得：
　　总之，数学思想是数学学科的精髓，是学好数学的重要保障，因此数学思想的渗透与训练是最重要的，这就要求教师、同学们在学习的过程中认真总结，深刻体会感悟它们的重要作用。