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【学法指导】 方程的根与函数的零点

来源:101教育网整理 2019-04-28 字体大小: 分享到:

1.函数零点概念的三点说明

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.

(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与x轴无交点,如函数y=5,y=x2+1就没有零点.

(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点.若函数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内.

2.对函数零点判断的四点说明

(1)存在性:“若f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数根”指出了方程f(x)=0的实数根的存在性.

(2)唯一性:若f(a)·f(b)<0,且y=f(x)在(a,b)内是单调函数,则方程f(x)=0在(a,b)内有唯一实数解.

(3)两个条件:①在[a,b]上函数图象连续不断;②端点函数值异号即f(a)·f(b)<0,缺一不可.

(4)不可逆性:对函数零点的判断方法,反过来不成立,即f(x)在(a,b)内存在零点,不一定有图象连续不断,也不一定有f(a)·f(b)<0.

特别提醒:当函数f(x)在[a,b]上的图象不是连续不断的或在[a,b]上的最小(大)值都大(小)于零时,函数无零点.

3.函数零点的两种求法

(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.

(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

特别提醒:函数的零点m是一个实数,不要写成x=m.

4.判断函数零点所在区间的方法
一般而言,判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断.

【方法技巧1】确定函数零点个数的方法

(1)利用方程的根,转化为解方程,方程有几个根相对应的函数就有几个零点.

(2)利用函数y=f(x)的图象与x轴的交点的个数,从而判定零点的个数.

(3)结合函数的单调性.若函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,利用f(a)·f(b)<0,结合单调性可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数.

(4)转化成两个函数图象的交点问题.

【方法技巧2】判断函数零点所在区间的三个步骤

(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值.

(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.

(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.


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