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高一数学学习方法:函数值域必修

来源:101教育网整理 2019-09-26 字体大小: 分享到:

  101教育网高中小编为大家整理了《高一数学学习方法:函数值域必修》的相关内容,供大家参考。

  一.观察法

  通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。

  例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。

  点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。

  解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,

  本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。

  求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})

  二.反函数法

  当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。

  例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

  点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。

  解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y?y≠1,y∈R}。

  求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y?y<-1 y="">1})

  三.配方法

  当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

  例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

  点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。

  解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]

  求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y?y≤3})

  四.判别式法

  若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

  例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

  点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。

  解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

  当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2

  求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y≤-8或y>0)。

  五.最值法

  对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

  例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

  点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。

  解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

  ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。

  当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。

  若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 ( )

  A.(-∞,+∞) B.[-7,+∞] C.[0,+∞) D.[-5,+∞)

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标签: 高一 数学 学习方法 复习方法 (责任编辑:潇潇雨歇)

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