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高二数学知识点:数列的概念与表示法

来源:101教育网整理 2019-11-11 字体大小: 分享到:

  高一与高二的学习之间看似没有了继承关系。但是实际上,高一年级所学到的思路和方法仍然会被高二学习所继承。同时在知识模块之间也具备递进和延伸关系,更重要的是,高中学习是一个整体过程,有效利用记忆周期做好阶段性复习,会给高三减轻很大压力。

  1.数列的定义

  按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项.

  (1)从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就不是同一数列,例如数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是不同的数列.

  (2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,在同一数列中可以出现多个相同的数字,如:-1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…构成数列:-1,1,-1,1,….

  (4)数列的项与它的项数是不同的,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,也就是相当于f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n.

  (5)次序对于数列来讲是十分重要的,有几个相同的数,由于它们的排列次序不同,构成的数列就不是一个相同的数列,显然数列与数集有本质的区别.如:2,3,4,5,6这5个数按不同的次序排列时,就会得到不同的数列,而{2,3,4,5,6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.

  2.数列的分类

  (1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类,分为有穷数列和无穷数列.在写数列时,对于有穷数列,要把末项写出,例如数列1,3,5,7,9,…,2n-1表示有穷数列,如果把数列写成1,3,5,7,9,…或1,3,5,7,9,…,2n-1,…,它就表示无穷数列.

  (2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类:递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.

  3.数列的通项公式

  数列是按一定次序排列的一列数,其内涵的本质属性是确定这一列数的规律,这个规律通常是用式子f(n)来表示的,

  这两个通项公式形式上虽然不同,但表示同一个数列,正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样,也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式,但在形式上,又不一定是唯一的,仅仅知道一个数列前面的有限项,无其他说明,数列是不能确定的,通项公式更非唯一.如:数列1,2,3,4,…,

  由公式写出的后续项就不一样了,因此,通项公式的归纳不仅要看它的前几项,更要依据数列的构成规律,多观察分析,真正找到数列的内在规律,由数列前几项写出其通项公式,没有通用的方法可循.

  再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点:

  (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,…,n}为定义域的函数的表达式.

  (2)如果知道了数列的通项公式,那么依次用1,2,3,…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时,用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项,如果是的话,是第几项.

  (3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.

  如2的不足近似值,精确到1,0.1,0.01,0.001,0.000 1,…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,…就没有通项公式.

  (4)有的数列的通项公式,形式上不一定是唯一的,正如举例中的:

  (5)有些数列,只给出它的前几项,并没有给出它的构成规律,那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.

  4.数列的图象

  对于数列4,5,6,7,8,9,10每一项的序号与这一项有下面的对应关系:

  序号:1 2 3 4 5 6 7

  项: 4 5 6 7 8 9 10

  这就是说,上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此,从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时,对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数,它的自变量只能取正整数.

  由于数列的项是函数值,序号是自变量,数列的通项公式也就是相应函数和解析式.

  数列是一种特殊的函数,数列是可以用图象直观地表示的.

  数列用图象来表示,可以以序号为横坐标,相应的项为纵坐标,描点画图来表示一个数列,在画图时,为方便起见,在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同,从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况,但不精确.

  把数列与函数比较,数列是特殊的函数,特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合,其图象是无限个或有限个孤立的点.

  5.递推数列

  一堆钢管,共堆放了七层,自上而下各层的钢管数构成一个数列:4,5,6,7,8,9,10.①

  数列①还可以用如下方法给出:自上而下第一层的钢管数是4,以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1.

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