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初中数学公式介绍:方差公式

来源:101教育网整理 2020-11-12 字体大小: 分享到:

  一.方差的概念与计算公式

  例1两人的5次测验成绩如下:

  X:50,100,100,60,50E(X)=72;

  Y:73,70,75,72,70E(Y)=72。

  平均成绩相同,但X不稳定,对平均值的偏离大。

  方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

  单个偏离是

  消除符号影响

  方差即偏离平方的均值,记为D(X):

  直接计算公式分离散型和连续型,具体为:

  这里是一个数。推导另一种计算公式

  得到:“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

  其中,分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差,方差描述波动

  二.方差的性质

  1.设C为常数,则D(C)=0(常数无波动);

  2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);

  证:

  特别地D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)(方差无负值)

  3.若X、Y相互独立,则

  证:记

  则

  前面两项恰为D(X)和D(Y),第三项展开后为

  当X、Y相互独立时,

  ,

  故第三项为零。

  特别地

  独立前提的逐项求和,可推广到有限项。

  方差公式:

  平均数:M=(x1+x2+x3+…+xn)/n(n表示这组数据个数,x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)

  方差公式:S²=〈(M-x1)²+(M-x2)²+(M-x3)²+…+(M-xn)²〉╱n

  三.常用分布的方差

  1.两点分布

  2.二项分布

  X~B(n,p)

  引入随机变量Xi(第i次试验中A出现的次数,服从两点分布)

  ,

  3.泊松分布(推导略)

  4.均匀分布

  另一计算过程为

  5.指数分布(推导略)

  6.正态分布(推导略)

  7.t分布:其中X~T(n),E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

  8.F分布:其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

  ~

  正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度,即波动程度(随机波动),这与图形的特征是相符的。

  例2求上节例2的方差。

  解根据上节例2给出的分布律,计算得到

  工人乙废品数少,波动也小,稳定性好。

  方差的定义:

  设一组数据x1,x2,x3······xn中,各组数据与它们的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)²,(x2-x拔)²······(xn-x拔)²,那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x拔)²+(x2-x拔)²+·····(xn-x拔)²】来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差。

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