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阅读二次函数与一元二次方程根的分布综合

来源:未知 2013-04-08 字体大小: 分享到:

  1) 预习题

  1. 设有一元二次函数y=2x2-8x+1.试问,

  当x∈[3,4]时,随x变大,y的值变大还是变小?

  由此y=fx)在[3,4]上的最大值与最小值分别是什么?

  解:经配方有y=2x-2)2-7

  ∵对称轴x=2,区间[3,4]在对称轴右边,

  ∴y=fx)在[3,4]上随x变大,y的值也变大,因此

  ymax=f4)=1.

  ymin=f3)=-5.

  2.设有一元二次函数y=2x2-4ax+2a2+3.试问,此函数对称轴是什么?

  当x∈[3,4]时,随x变大,y的值是变大还是变小?与a取值有何关系?

  由此,求y=fx)在[3,4]上的最大值与最小值.

  解:经配方有y=2x-a)2+3.

  对称轴为x=a.

  当a≤3时,因为区间[3,4]在对称轴的右边,因此,当x∈[3,4]时,随x变大,y的值也变大.

  当3<a<4时,对称轴x=a在区间[3,4]内,此时,若3≤x≤a,随x变大,y的值变小,但若a≤x≤4,随x变大,y的值变大.

  当4≤a时,因为区间[3,4]在对称轴的左边,因此,当x∈[3,4]时,随x变大,y的值反而变小.

  根据上述分析,可知.

  当a≤3时,ymax=f4)=2a2-16a+35.ymin=f3)=2a2-12a+21.

  当3<a<4时,ymin=fa)=3.

  其中,a≤3.5时,ymax=f4)=2a2-16a+35.

  a≥3.5时,ymax=f3)=2a2-12a+21.

  当a≥4时,ymax=f3)=2a2-12a+21.ymin=f4)=2a2-16a+35.

  2) 基础题

  例1.设有一元二次方程x2+2m-1)x+m+2)=0.试问:

  1)m为何值时,有一正根、一负根.

  2)m为何值时,有一根大于1、另一根小于1.

  3)m为何值时,有两正根.

  4)m为何值时,有两负根.

  5)m为何值时,仅有一根在[1,4]内?

  解:1)设方程一正根x2,一负根x1,显然x1、x2<0,依违达定理有m+2<0.

  ∴  m<-2.

  反思回顾:x1、x2<0条件下,ac<0,因此能保证△>0.

  2)设x1<1,x2>1,则x1-1<0,x2-1>0只要求x1-1)x2-1)<0,即x1x2-x1+x2)+1<0.

  依韦达定理有

  m+2)+2m-1)+1<0.

  3)若x1>0,x2>0,则x1+x2>0且x1,x2>0,故应满足条件

  依韦达定理有

  5)由图象不难知道,方程fx)=0在[3,4]内仅有一实根条件为f3)·f4)<0,即

  [9+6m-1)+m+2)]·[16+8m-1)+m+2)]<0.

  ∴7m+1)9m+10)<0.

  例2. 当m为何值时,方程 有两个负数根?

  解:负数根首先是实数根,∴ ,

  由根与系数关系:要使方程两实数根为负数,必须且只需两根之和为负,两根之积为正.

  由以上分析,有#p#分页标题#e#

  即

  ∴当 时,原方程有两个负数根.

  3) 应用题

  例1. m取何实数值时,关于x的方程x2+m-2)x+5-m=0的两个实根都大于2?

  解:设fx)=x2+m-2)x+5-m,如图原方程两个实根都大于2

  所以当-5<m≤-4时,方程的两个实根大于2.

  例2.已知关于x方程:x2-2ax+a=0有两个实根α,β,且满足0<α<1,β>2,求实根a的取值范围.

  解:设fx)=x2-2ax+a,则方程fx)=0的两个根α,β就是抛物线y=fx)与x轴的两个交点的横坐标,如图0<α<1,β>2的条件是:

  <1,β>2.

  例3.m为何实数时,关于x的方程x2+m-2)x+5-m=0的一个实根大于2,另一个实根小于2.

  解:设fx)=x2+m-2)x+5-m,如图,原方程一个实根大于2,另一个实根小于2的充要条件是f2)<0,即4+2m-2)+5-m<0.解得m<-5.所以当m<-5时,方程的一个实根大于2,另一个实根小于2.

  4) 提高题

  例1.已知函数 的图象都在x轴上方,求实数k的取值范围.

  解:1)当 ,则所给函数为二次函数,图象满足:

  ,即

  解得:

  2)当 时,

  若 ,则 的图象不可能都在x轴上方,∴

  若 ,则y=3的图象都在x轴上方

  由1)2)得:

  反思回顾:此题没有说明所给函数是二次函数,所以要分情况讨论.

  例2.已知关于x的方程m-1)x2-2mx+m2+m-6=0有两个实根α,β,且满足0<α<1<β,求实数m的取值范围.

  解:设fx)=x2-2mx+m2+m-6,则方程fx)=0的两个根α,β,就是抛物线y=fx)与x轴的两个交点的横坐标.

  如图,0<α<1<β的条件是

  解得

  例3.已知关于x的方程3x2-5x+a=0的有两个实根α,β,满足条件α∈-2,0),β∈1,3),求实数a的取值范围.

  解:设fx)=3x2-5x+a,由图象特征可知方程fx)=0的两根α,β,并且α∈-2,0),β∈1,3)的

  解得-12<a<0.

  四、课后演武场

  1.已知方程m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数,则m的取值范围是 B )

  A.    B.    C.   D.

  2.方程 x2+m2-1)x+m-2)=0的一个根比1大,另一个根比-1小,则m的取值范围是 C )

  A.0<m<2   B.-3<m<1   C.-2<m<0   D.-1<m<1

  3.已知方程 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 C )

  A.           B.

  C.      D.

  4.已知关于x的方程3x2+m-5)x+7=0的一个根大于4,而另一个根小于4,求实数m的取值范围.#p#分页标题#e#

  可知方程fx)=0的一根大于4,另一根小于4的充要条件是:f4)<0)

  5.已知关于x的方程x2+2mx+2m+3=0的两个不等实根都在区间0,2)内,求实数m的取值范围.

  征可知方程fx)=0的两根都在0,2)内的充要条件是

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标签: 充要条件 函数 抛物线 (责任编辑:101教育小编)
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