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高三物理教材:解决轨迹问题

来源:未知 2013-04-12 字体大小: 分享到:

  天津市第四十二中学 李艳杰

  近几年高考Q吧)中轨迹方程问题常与向量相结合,向量引入圆锥曲线可以启迪从一个新的角度去分析、解决问题,有利于开发智力,提高能力。在解析几何中充分运用向量的知识,常能使很多繁琐的计算变得简单易行,起到事半功倍的效果。笔者以教学中所遇的几例加以说明。

  一、直接法求轨迹方程

  例1:如图,已知F1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且-·■=-·■。

  Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;

  Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M。

  1)已知-=1-,-=2-,求1+2的值;

  2)求-·■ 的最小值。

  解法一:Ⅰ)设点Px,y),则Q-1,y),由-·■=-·■得:

  x+1,0)·2,-y)=x-1,y)·-2,y),化简得C:y2=4x

  解法二:Ⅰ)由-·■=-·■得:-·-+-)=0,

  ∴---)·-+-)=0

  ∴-2--2=0

  ∴|-|=|-|

  所以点P的轨迹C是抛物线,由题意,轨迹C的方程为:y2=4x。

  Ⅱ)解法从略。

  【点拨】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力。

  例2:设过点Px,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若-=2-且-·■=1,则点P的轨迹方程是 )

  A.3x2+-y2=1x>0,y>0)

  B.3x2--y2=1x>0,y>0)

  C.-x2-3y2=1x>0,y>0)

  D.-x2+3y2=1x>0,y>0)

  解:设Px,y),则Q-x,y),又设Aa,0),B0,b),则a>0,b>0,于是-=x,y-b),-=a-x,-y),由-=2-可得a=-x,b=3y,所以x>0,y>0又-=-a,b)=--x,3y),由-·■=1可得-x2+3y2=1x>0,y>0),所以选D。

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