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如何能打好高一数学基础集合知识

来源:未知 2013-08-12 字体大小: 分享到:

  一.知识归纳

  1.集合的有关概念。

  1)集合集)某些指定的对象集在一起就成为一个集合集).其中每一个对象叫元素

  注意①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。

  ②集合中的元素具有确定性a?A和a?A,二者必居其一)、互异性若a?A,b?A,则a≠b)和无序性{a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

  ③集合具有两方面的意义,即凡是符合条件的对象都是它的元素只要是它的元素就必须符号条件

  2)集合的表示方法常用的有列举法、描述法和图文法

  3)集合的分类有限集,无限集,空集。

  4)常用数集N,Z,Q,R,N*

  2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

  1)子集若对x∈A都有x∈B,则A B或A B)

  2)真子集A B且存在x0∈B但x0 A记为A B或 ,且 )

  3)交集A∩B={x| x∈A且x∈B}

  4)并集A∪B={x| x∈A或x∈B}

  5)补集CUA={x| x A但x∈U}

  注意①? A,若A≠?,则? A

  ②若 , ,则

  ③若 且 ,则A=B等集)

  3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号1) 与 、?的区别2) 与 的区别3) 与 的区别。

  4.有关子集的几个等价关系

  ①A∩B=A A B②A∪B=B A B③A B C uA C uB

  ④A∩CuB = 空集 CuA B⑤CuA∪B=I A B。

  5.交、并集运算的性质

  ①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A

  ③Cu A∪B)= CuA∩CuB,Cu A∩B)= CuA∪CuB

  6.有限子集的个数设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。

  二.例题讲解

  【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},则M,N,P满足关系

  A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

  分析一从判断元素的共性与区别入手。

  解答一对于集合M{x|x= ,m∈Z}对于集合N{x|x= ,n∈Z}

  对于集合P{x|x= ,p∈Z},由于3n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以M N=P,故选B。

  分析二简单列举集合中的元素。

  解答二M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。

  = ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,

  = P,∴N P 又 ∈N,∴P N,故P=N,所以选B。

  点评由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。 #p#分页标题#e#

  变式设集合 , ,则 B )

  A.M=N B.M N C.N M D.

  解

  当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B

  【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为

  A)1 B)2 C)3 D)4

  分析确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。

  解答∵A*B={x|x∈A且x B}, ∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。

  变式1已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为

  A)5个 B)6个 C)7个 D)8个

  变式2已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

  解由已知,集合中必须含有元素a,b.

  集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

  评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .

  【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

  解答∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

  ∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

  ∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,

  ∴ ∴

  变式已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.

  解∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

  ∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

  又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-2+2)=4,c=2×2=4

  ∴b=-4,c=4,m=-5

  【例4】已知集合A={x|x-1)x+1)x+2)>0},集合B满足A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1

  分析先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。

  解答A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B,而-∞,-2)∩B=ф。

  综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

  变式1若A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4},A∩B=Φ,求a,b。答案a=-2,b=0)

  点评在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。

  变式2设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。

  解答M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

  ①当 时,ax-1=0无解,∴a=0 ②

  综①②得所求集合为{-1,0, }

  【例5】已知集合 ,函数y=log2ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。

  分析先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解,再利用参数分离求解。

  解答1)若 , 在 内有有解

  令 当 时,

  所以a>-4,所以a的取值范围是

  变式若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。 #p#分页标题#e#

  解答

  点评解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

  三.随堂演练

  选择题

  1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

  ⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数

  A)4 B)5 C)6 D)7

  2.集合{1,2,3}的真子集共有

  A)5个 B)6个 C)7个 D)8个

  3.集合A={x } B={ } C={ }又 则有

  A)a+b) A B) a+b) B C)a+b) C D) a+b) A、B、C任一个

  4.设A、B是全集U的两个子集,且A B,则下列式子成立的是

  A)CUA CUB B)CUA CUB=U

  C)A CUB= D)CUA B=

  5.已知集合A={ }, B={ }则A =

  A)R B){ }

  C){ } D){ }

  6.下列语句1)0与{0}表示同一个集合 2)由1,2,3组成的集合可表示为

  {1,2,3}或{3,2,1} 3)方程x-1)2x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1,1,2} 4)集合{ }是有限集,正确的是

  A)只有1)和4) B)只有2)和3)

  C)只有2) D)以上语句都不对

  7.设S、T是两个非空集合,且S T,T S,令X=S 那么S∪X=

  A)X B)T C)Φ D)S

  8设一元二次方程ax2+bx+c=0a<0)的根的判别式 ,则不等式ax2+bx+c 0的解集为

  A)R B) C){ } D){ }

  填空题

  9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为

  10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B,则x=

  11.若A={x } B={x },全集U=R,则A =

  12.若方程8x2+k+1)x+k-7=0有两个负根,则k的取值范围是

  13设集合A={ },B={x },且A B,则实数k的取值范围是。

  14.设全集U={x 为小于20的非负奇数},若A CUB)={3,7,15},CUA) B={13,17,19},又CUA) CUB)= ,则A B=

  解答题

  158分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3},求实数a。

  1612分)设A= , B= ,

  其中x R,如果A B=B,求实数a的取值范围。

  四.习题答案

  选择题

  1 2 3 4 5 6 7 8

  C C B C B C D D

  填空题

  9.{x,y) } 10.0, 11.{x ,或x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

  解答题

  15.a=-1

  16.提示A={0,-4},又A B=B,所以B A

  Ⅰ)B= 时, 4a+1)2-4a2-1)<0,得a<-1

  Ⅱ)B={0}或B={-4}时, 0 得a=-1

  Ⅲ)B={0,-4}, 解得a=1

  综上所述实数a=1 或a -1

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