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高中数学学习:函数值域的12种解法

来源:101教育网整理 2016-08-18 字体大小: 分享到:
  今天学习方法网小编今天为大家整理了高中函数值域的12种解法,快来学习吧!      一。观察法      通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。      例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。      点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。      解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,      故3+√(2-3x)≥3.      ∴函数的知域为。      点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。      本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。      练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})      二。反函数法      当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。      例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。      点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。      解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。      点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。      练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})      三。配方法      当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域      例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。      点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求。      解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]      ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]      点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。      练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域。(答案:值域为{y∣y≤3})      四。判别式法      若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。      例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。      点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。      解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)      当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2      当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2      点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。      练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y≤-8或y>0)。      五。值法      对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的较值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的值,可得到函数y的值域。      例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。      点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。      解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),      ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。      当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4.      ∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。      点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间,若存在值,也可通过求出值而获得函数的值域。      练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 ()      A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞)      (答案:D)。      六。图象法      通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。      例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。      点拨:根据值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。      解:原函数化为 -2x+1(x≤1)      y= 3 (-1      2x-1(x>2)      它的图象如图所示。      显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。      点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象      求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。      求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。      今天小编就和大家分享到这,希望这篇文章对大家有用,更多内容请关注学习方法网。

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标签: 数学 学习方法 函数 函数的单调性 函数的定义 (责任编辑:101教育小编)
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