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湘教版高一数学下册《向量与实数相乘》同步训练

来源:101教育网整理 2016-08-24 字体大小: 分享到:

知识需要不断地积累,通过做练习才能让知识掌握的更加扎实,101网高中频道为大家提供了向量与实数相乘同步训练,欢迎阅读。

向量的数乘运算

计算下列各式:

(1)4(a+b)-3(a-b);

(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c);

(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).

思路分析:利用向量的线性运算律计算.

解:(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b.

(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c)

=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c.

(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)

=a-b-a-b+a+b

=a+b

=0·a+0·b=0+0=0.

计算:(1)3(6a+b)-9;

(2)-2;

(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.

解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.

(2)原式=-a-b

=a+b-a-b=0.

(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.

向量的数乘运算类似于实数运算,先算小括号里面的,再算中括号里面的,将相同的向量看作同类项进行合并.

二、向量共线条件的应用

已知向量e1和e2不共线.

(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线.

(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.

思路分析:(1)要证A,B,D三点共线,可证,共线(或与共线等);(2)当ke1+e2与e1+ke2共线时,由向量共线的条件知必有ke1+e2=λ(e1+ke2),从而求得k的值.

(1)证明:∵=e1+e2,

=+=2e1+8e2+3e1-3e2

=5(e1+e2)=5,

∴∥.又∵AB∩BD=B,

∴A,B,D三点共线.

(2)解:∵ke1+e2与e1+ke2共线,

∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2),

则(k-λ)e1=(λk-1)e2.

由于e1与e2不共线,

只能有

则k=±1.

已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线?

解:∵d=λa+μb

=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)

=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,

要使d与c共线,则应存在实数k,使d=kc,

即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,

∴∴λ=-2μ.

故存在这样的实数λ,μ,只要λ=-2μ,就能使d与c共线.

1.若b=λa(λ∈R),则b与a共线.由此可以判断向量共线问题.若b与a(a≠0)共线,则必存在唯一实数λ,使b=λa.据此可以求两个共线向量中的系数问题.

2.用向量证明三点共线时,关键是能否找到一个实数λ,使得a=λb(a,b为这三点构成的其中任意两个向量).证明步骤是先证明两个向量共线,然后再由两个向量有公共点,证得三点共线.

三、向量线性运算的应用

=a,=b为边的平行四边形.又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示,,.

思路分析:利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解,同时结合向量的数乘运算将未知向量用a,b表示.===(-)=(a-b),

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