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构造平行四边形证题的技巧

来源:101教育网整理 2016-08-29 字体大小: 分享到:
一. 构造平行四边形证两线段平行
例1. 已知如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O,E、F分别为OB、OD的中点,过O任作一直线分别交AB、CD于G、H。
求证:GF//EH。
证明:连结GE、FH
构造平行四边形证题的技巧四边形ABCD是平行四边形
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧四边形EHFG是平行四边形
构造平行四边形证题的技巧
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二. 构造平行四边形证两线段相等
例2. 如图,构造平行四边形证题的技巧中,D在AB上,E在AC的延长线上,BD=CE连结DE,交BC于F,∠BAC外角的平分线交BC的延长线于G,且AG//DE。
求证:BF=CF
分析:过点C作CM//AB交DE于点M,可以证明BD=CM,然后再利用平行四边形的性质得到BF=CF
证明:过点C作CM//AB交BE于点M,连接BM、CD,则∠CME=∠ADE
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧四边形BMCD为平行四边形
故BF=CF
构造平行四边形证题的技巧

三. 构造平行四边形证线段的不等关系
例3. 如图,AD是构造平行四边形证题的技巧的边BC上的中线,求证:构造平行四边形证题的技巧
分析:欲证构造平行四边形证题的技巧,即要证构造平行四边形证题的技巧,设法将2AD、AB、AC归结到一个三角形中,利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。注意到AD为构造平行四边形证题的技巧的中线,故可考虑延长AD到E,使DE=AD,则四边形ABEC为平行四边形。从而问题得证。
证明:延长AD到E,使DE=AD,连结BE、EC
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧四边形ABEC是平行四边形
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧中,AE<AB+BE
即2AD<AB+AC
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧
点评:此题是利用三角形三边关系定理、平行四边形的判定,通过延长中线将证明三角形中三条线段间的不等关系,转化为三角形三边之间的关系,从而使问题迎刃而解。

四. 构造平行四边形证线段的倍分关系
例4. 如图,分别以构造平行四边形证题的技巧中的AB、AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH,M是BC的中点,求证:FH=2AM
证明:延长AM到D,使MD=AM,连结BD、CD,
构造平行四边形证题的技巧 是BC的中点
构造平行四边形证题的技巧四边形ABDC为平行四边形
构造平行四边形证题的技巧
又AF=BA,AH=AC=BD
构造平行四边形证题的技巧
故FH=2AM
构造平行四边形证题的技巧

五. 构造平行四边形证两线段互相平分
例5. 平面上三个等边三角形构造平行四边形证题的技巧两两共有一个顶点,如图所示,求证:CD与EF互相平分
分析:要证CD与EF互相平分,须证四边形DFCE是平行四边形
证明:连结DE、DF、AF易知AD=AB=BD
构造平行四边形证题的技巧
又AE=AC,AD=AB
∠DAE=60°-∠EAB=∠BAC
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧四边形DECF是平行四边形
故CD与EF互相平分
构造平行四边形证题的技巧

六. 构造平行四边形证角的不等关系
例6. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC>BD
求证:∠DBC>∠ACB
证明:过点D作DE//AC交BC的延长线于点E,则四边形ACED是平行四边形
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧中,∠DBE>∠E
构造平行四边形证题的技巧
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七. 构造平行四边形证线段的和差关系
例7. 如图,构造平行四边形证题的技巧中,点E、F在边AB上,AE=BF,ED//AC//FG,求证:ED+FG=AC
证明:过E作EH//BC交AC于H
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧四边形CHED为平行四边形
构造平行四边形证题的技巧
又AE=BF,
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧

同步练习:
1. 如图1,在梯形BCED中,DE//BC延长BD、CE交于A,在BD上截取BF=AD。过F作FG//BC交EC于G,求证:DE+FG=BC。
构造平行四边形证题的技巧
2. 如图2,构造平行四边形证题的技巧中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,BE=CF,EF交BC于D。
求证:DE=DF
构造平行四边形证题的技巧
3. 如图3,平行四边形ABCD中,E、G、F、H分别是四条边上的点,且AE=CF,BG=DH,求证:EF与GH互相平分
构造平行四边形证题的技巧
4. 如图4,已知AB=AC,B是AD的中点,E是AB的中点,求证CD=2CE
构造平行四边形证题的技巧
5. 已知:如图5在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,点E在BC上,点F在AD上,AF=CE,EF与对角线BD相交于点O,求证:O是BD的中点。
构造平行四边形证题的技巧

提示:
1. 过点F作FM//AC交BC于点M,则有平行四边形FMCG。
2. 过E作EG//AC交BC于G,连结CE、GF。
3. 连结FH、HE、EG、GF
4. 延长CE至F,使EF=CE,连结AF、BF。
5. 连结BF、DE
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧四边形ABCD是平行四边形
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧四边形BEDF是平行四边形
构造平行四边形证题的技巧O是BD的中点

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