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证明直线与圆相切的两种方法

来源:101教育网整理 2016-08-29 字体大小: 分享到:
证明直线与圆相切主要有以下两种方法:
一、根据切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
当已知直线与圆有公共点时,常用此法。辅助线是连结公共点和圆心,只要设法证明直线与半径垂直即可。
例1. (2004年江苏省淮安市中考题)
已知:如图1,在△ABC中,∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D,交BC于点G。
证明直线与圆相切的两种方法
图1
(1)连结CD,若AG=4,DG=2,求CD的长;(解略)
(2)过点D作EF∥BC,分别交AB、AC的延长线于点E、F。求证:EF与⊙O相切。
证明:(2)连结OD,由∠1=∠2,
证明直线与圆相切的两种方法,则OD⊥BC
所以证明直线与圆相切的两种方法
因为EF∥BC,所以∠BCD=∠CDF
从而证明直线与圆相切的两种方法
即EF⊥OD,所以EF与⊙O相切。
例2. (2002年湖北省黄冈市中考题)
如图2,BE是⊙O的直径,点A在BE的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为C,连结OD,且∠AOD=∠APC。
(1)求证:AP是⊙O的切线。
(2)略。
证明直线与圆相切的两种方法
图2
证明:连结OP,因为PD⊥BE,OP=OD
所以∠POB=∠DOB,而∠APD=∠DOB
所以∠POB=∠APD
由PD⊥BE得:∠POB+∠OPC=90°
即∠APD+∠OPC=90°
所以AP是⊙O的切线
二、根据直线与圆的位置关系
若圆心到直线的距离等于圆的半径,则直线与圆相切。
当题设中不能肯定直线与圆有公共点时,常用此法。辅助线是过圆心作该直线的垂线段,只要设法证明垂线段等于半径即可。
例3. (2003年甘肃省中考题)
如图3,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心、r为半径作圆,当r=2.4时,AB与圆有怎样的位置关系?为什么?
证明直线与圆相切的两种方法
图3
解:作CD⊥AB,垂足为D,则
证明直线与圆相切的两种方法
由CD·AB=AC·BC得:证明直线与圆相切的两种方法
即AB与圆相切。
例4. 如图4,AB是⊙O的直径,AC⊥l,BD⊥l,C、D为垂足,且AC+BD=AB,求证:直线l与⊙O相切。
证明直线与圆相切的两种方法
图4
证明:过O作OE⊥l,E为垂足,则
OE∥AC∥BD,又AO=BO
所以证明直线与圆相切的两种方法
证明直线与圆相切的两种方法,则证明直线与圆相切的两种方法
即垂线段OE等于圆的半径,所以直线l是⊙O的切线。

标签: (责任编辑: 101教育小编 )
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