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巧用面积法解题

来源:101教育网整理 2016-08-29 字体大小: 分享到:
许多数学问题,表面上看来似与面积无关,但灵活运用面积法,往往能使问题顺利获解,下面举例介绍面积法的运用。
一. 用面积法证线段相等
例1. 已知:如图1,AD是△ABC的中线,CF⊥AD于F,BE⊥AD交AD的延长线于E。
求证:CF=BE。
巧用面积法解题
图1
证明:连结EC,由BD=DC得,
巧用面积法解题
两式两边分别相加,得
巧用面积法解题
巧用面积法解题
所以BE=CF。
注:直接由巧用面积法解题
巧用面积法解题更简洁。

二. 用面积法证两角相等
例2. 如图2,C是线段AB上的一点,△ACD、△BCE都是等边三角形,AE、BD相交于O。
求证:∠AOC=∠BOC。
巧用面积法解题
图2
证明:过点C作CP⊥AE,CQ⊥BD,垂足分别为P、Q。
因为△ACD、△BCE都是等边三角形,
所以AC=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE,
所以∠ACE=∠DCB
所以△ACE≌△DCB
所以AE=BD,巧用面积法解题
可得CP=CQ
所以OC平分∠AOB
即∠AOC=∠BOC

三. 用面积法证线段不等
例3. 如图3,在△ABC中,已知AB>AC,∠A的平分线交BC于D。
求证:BD>CD。
巧用面积法解题
图3
证明:过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F
设BC边上的高为h。
因为∠BAD=∠DAC
所以DE=DF
因为巧用面积法解题
且AD>AC
所以巧用面积法解题
巧用面积法解题
所以BD>CD

四. 用面积法证线段的和差
例4. 已知:如图4,设等边△ABC一边上的高为h,P为等边△ABC内的任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F。
求证:PE+PF+PD=h。
巧用面积法解题
图4
证明:连结PA、PB、PC
因为巧用面积法解题巧用面积法解题
巧用面积法解题
所以巧用面积法解题
因为△ABC是等边三角形
所以巧用面积法解题
即PE+PF+PD=h

五. 用面积法证比例式或等积式
例5. 如图5,AD是△ABC的角的平分线。
求证:巧用面积法解题
巧用面积法解题
图5
证明:过D点作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F。
因为AD是△ABC的角的平分线,
所以DE=DF,
则有巧用面积法解题
过A点作AH⊥BC,垂足为H,
则有巧用面积法解题
巧用面积法解题

六. 用面积比求线段的比
例6. 如图6,在△ABC中,已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。
求证:巧用面积法解题
巧用面积法解题
图6
证明:连结CM,过B作BG⊥AD交AD延长线于G,则
巧用面积法解题
所以巧用面积法解题
巧用面积法解题
所以巧用面积法解题
巧用面积法解题
所以巧用面积法解题

标签: 数学 (责任编辑: 101教育小编 )
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