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求角的度数四法

来源:101教育网整理 2016-08-29 字体大小: 分享到:

  在学习与三角形有关的角时,同学们会遇到许多求角的大小的问题,其中有些题目看似简单,却很难入手,有些题目因思考不全面而造成漏解。怎么办?要知道,数学思想方法是数学的灵魂,是解决数学问题的金钥匙。本文就谈谈数学思想方法在求解角的度数问题中的运用,希望对同学们解题有所帮助。


1、整体法
例1 如图1,若点P为△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线的交点,求∠BPC求角的度数四法∠A的度数。
求角的度数四法
图1
分析:解本题的关键在于从整体着眼,利用∠PBC+∠PCB建立∠A和∠BPC的联系。
解:∵∠PBC=求角的度数四法∠ABC
∠PCB=求角的度数四法∠ACB
∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)
∴∠BPC-求角的度数四法∠A
求角的度数四法
2、方程法
例2 如图2,在△ABC中,∠A:∠ABC:∠ACB=3:4:5,BD、CE分别是AC、AB边上的高,BD、CE相交于点H,求∠BHC的度数。
求角的度数四法
图2
分析:根据三角形的内角和定理,结合已知条件可先求出∠A、∠ABC、∠ACB的度数。在△BHC中,还需求出∠DBC和∠ECB的度数。
解:设∠A=3x度,则∠ABC=4x度,∠ACB=5x度。
所以求角的度数四法
解得x=15,即∠A=45°,∠ABC=60°,∠ACB=75°
在△DBC中,由∠BDC=90°,可知△DBC是直角三角形。
所以∠DBC=90°-75°=15°
在△ECB中,由∠CEB=90°,可知△ECB是直角三角形。
所以∠ECB=90°-60°=30°
在△BHC中,∠BHC=180°-15°-30°=135°
点评:由于∠A:∠ABC:∠ACB=3:4:5,设∠A=3x度,则∠ABC=4x度,∠ACB=5x度。再根据三角形内角和定理,就可以得到一个关于x的方程,即求角的度数四法。从而求得∠A、∠ABC、∠ACB的度数。这种方法会经常用到,要注意掌握。
3、分类法
例3 已知非直角三角形ABC中,∠A=45°,高BD和高CE所在的直线相交于点H,求∠BHC的度数。
分析:三角形的形状不同,高线的交点的位置也不同。当三角形为锐角三角形时,高的交点在其内部;当三角形为钝角三角形时,高的交点在其外部。故应分两种情况讨论。
解:(1)设△ABC为锐角三角形(如图3)。
求角的度数四法
图3
∴BD、CE是△ABC的高,∠A=45°,
∴∠ABD=90°-45°=45°
∴∠BHC=∠ABH+∠BEH
=45°+90°
=135°
(2)设△ABC为钝角三角形(如图4)
求角的度数四法
图4
∴H是△ABC的两条高所在直线的交点,∠A=45°,
∴∠DCH=∠ECA
=90°-45°
=45°
∴∠BHC=90°-∠DCH
=90°-45°
=45°
综上可知,∠BHC的大小是135°或45°。
4、构造法
例4 如图5,BE是∠ABD的平分线,CF是∠ACD的平分线,BE与CF交于点G,若∠BDC=140°,∠BGC=110°,求∠A的度数。
求角的度数四法
图5
分析:若把∠BDC、∠BGC、∠A看成是三角形的内角,则必须构造三角形。结合图形不难发现,连接BC即可。
解:连接BC。
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°
∠BDC=140°
∴∠DBC+∠DCB=40°
又∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°
∠BGC=110°
∴∠GBD+∠GCD=180°-110°-40°=30°
∵∠GBD求角的度数四法∠ABD
∠GCD=求角的度数四法∠ACD
∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=60°
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°―60°―40°
=80°。
点评:此题还可延长CD交BE于一点,请同学们尝试一下这种解法。在进行与角有关的计算时,为了能使用三角形内角和定理及内角与外角的关系,常常需要构造三角形或三角形的外角,这时需要添加某些线段或延长某些线段。

 

标签: 数学 (责任编辑: 101教育小编 )
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