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证明三角形全等的一般思路

来源:101教育网整理 2016-08-29 字体大小: 分享到:
一、当已知两个三角形中有两边对应相等时,找夹角相等(SAS)或第三边相等(SSS)。
例1. 如图1,已知:AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,且B、C、D在同一条直线上。
求证:AD=BE
证明三角形全等的一般思路
分析:要证AD=BE
注意到AD是△ABD或△ACD的边,BE是△DEB或△BCE的边,只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE,显然△ABD和△DEB不全等,而在△ACD和△BCE中,AC=BC,CD=CE,故只需证它们的夹角∠ACD=∠BCE即可。
而∠ACD=∠ACE+60°,∠BCE=∠ACE+60°
故△ACD≌△BCE(SAS)
二、当已知两个三角形中有两角对应相等时,找夹边对应相等(ASA)或找任一等角的对边对应相等(AAS)
例2. 如图2,已知点A、B、C、D在同一直线上,AC=BD,AM∥CN,BM∥DN。
求证:AM=CN
证明三角形全等的一般思路
分析:要证AM=CN
只要证△ABM≌△CDN,在这两个三角形中,由于AM∥CN,BM∥DN,可得
∠A=∠NCD,∠ABM=∠D
可见有两角对应相等,故只需证其夹边相等即可。
又由于AC=BD,而证明三角形全等的一般思路
故AB=CD
故△ABM≌△CDN(ASA)
三、当已知两个三角形中,有一边和一角对应相等时,可找另一角对应相等(AAS,ASA)或找夹等角的另一边对应相等(SAS)
例3. 如图3,已知:∠CAB=∠DBA,AC=BD,AC交BD于点O。
求证:△CAB≌DBA
证明三角形全等的一般思路
分析:要证△CAB≌△DBA
在这两个三角形中,有一角对应相等(∠CAB=∠DBA)
一边对应相等(AC=BD)
故可找夹等角的边(AB、BA)对应相等即可(利用SAS)。
四、已知两直角三角形中,当有一边对应相等时,可找另一边对应相等或一锐角对应相等
例4. 如图4,已知AB=AC,AD=AG,AE⊥BG交BG的延长线于E,AF⊥CD交CD的延长线于F。
求证:AE=AF
证明三角形全等的一般思路
分析:要证AE=AF
只需证Rt△AEB≌Rt△AFC,在这两个直角三角形中,已有AB=AC
故只需证∠B=∠C即可
而要证∠B=∠C
需证△ABG≌△ACD,这显然易证(SAS)。
五、当已知图形中无现存的全等三角形时,可通过添作辅助线构成证题所需的三角形
例5. 如图5,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD是中线,AE⊥BD于F,交BC于E。
求证:∠ADB=∠CDE
证明三角形全等的一般思路
分析:由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等,故需作辅助线。注意到AE⊥BD,∠BAC=90°,有∠1=∠2,又AB=AC。故可以∠2为一内角,以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形,为此,过C作CG⊥AC交AE的延长线于G,则△ABD≌△CAG,故∠ADB=∠CGA。
对照结论需证∠CGA=∠CDE
又要证△CGE≌△CDE,这可由
CG=AD=CD,∠ECG=∠EBA=∠ECD,CE=CE而获证。

标签: (责任编辑: 101教育小编 )
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