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巧旋转妙解题

来源:101教育网整理 2016-08-29 字体大小: 分享到:

  一个图形围绕某一点由一个位置转到另一个位置的运动叫旋转,这个点叫做旋转中心。确定图形旋转的三个要素是:旋转中心、旋转方向、旋转角度。图形旋转的主要特征是:图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等,图形的形状与大小没有发生变化。

  我们在解题中运用图形旋转的主要目的是:把给定的图形(或其中的一部分)绕某一点旋转后,图形会发生新的组合,重组后的图形能把题目中的条件相对集中,从而使问题得到解决。下面举例说明运用图形旋转法解题的常用技巧。


一、三角形中的旋转技巧
1. 当条件中出现三角形某边的中点时,可将某图形绕此中点旋转180°。
例1. 如图1,在△ABC中,D是AB的中点,E、F分别是BC、AC上的点。
求证:巧旋转妙解题
巧旋转妙解题
图1
分析:由于△ADF与△BDE不在一起,因此,我们只需将△ADF绕中点D旋转180°得到△BDG,使其与△BDE组成一个四边形BEDG,从而使问题得到解决。
证明:把△ADF绕中点D旋转180°得到△BDG,其中B与A、G与F分别是对应点,则△BDG≌△ADF。于是
巧旋转妙解题
∵D是AB的中点
∴D也是GF的中点,故巧旋转妙解题
巧旋转妙解题
巧旋转妙解题
2. 当条件中的三角形是等腰三角形时,可将含有该等腰三角形一腰的图形,绕着等腰三角形的顶角顶点进行旋转,使得两腰重合。
例2. 如图2,在△ABC中,AB=AC,D是三角形内一点,DC>DB。
求证:∠ADB>∠ADC
巧旋转妙解题
图2
分析:由于已知两边的大小关系,与要证的两角的大小关系没太大联系,因此我们需要将图形进行适当旋转,使图形发生重组,然后再探究它们的内在联系。
证明:把△ABD绕点A逆时针旋转∠BAC,得△ACE,连DE
则AE=AD,EC=BD
∠AED=∠ADE,∠AEC=∠ADB
在△DEC中,∵EC=BD
∴DC>EC
∴∠DEC>∠EDC
∴∠AEC>∠ADC,故∠ADB>∠ADC
3. 当条件中的三角形是等边三角形时,可将含有该等边三角形一边的图形,绕着等边三角形的顶点进行旋转,使其与另一边重合。
例3. 如图3,等边△ABC中,O为其内一点,且OA=3,OB=5,OC=4,求∠AOC的度数。
巧旋转妙解题
图3
分析:直接求∠AOC的度数显然很困难。注意到条件中的三边长恰是一组勾股数,因此考虑把这三边集中到一个三角形内,可以构造出一个直角三角形,然后再求角度。我们只要把△ABO绕点A旋转60°即可。
解:将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△ACD,连结OD,则
AD=AO=3,DC=OB=5,∠CAD=∠BAO
∴∠DAO=∠CAB=60°
△AOD为等边三角形
∴∠AOD=60°,OD=3,在△ODC中,
∵OD=3,OC=4,DC=5
∴∠COD=90°
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=150°
二、多边形中的旋转技巧
一般而言,当题目给出的图形是多边形时,我们常先把其分割成(特殊)三角形,再应用三角形的旋转技巧进行解决。
1. 当条件中的多边形有两相等的邻边时,常把含其中一边的三角形进行旋转,使其与另一等边重合。
例4. 如图4,五边形ABCDE中,AB=AE,巧旋转妙解题,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连结AD。
求证:AD平分∠CDE
巧旋转妙解题
图4
分析:注意到巧旋转妙解题,但BC、DE两条线段不在同一直线上,这是本题的关键。由于AB=AE,如果连结AC,我们把△ABC绕点A旋转,可以使BC、DE移到一起,从而把问题解决。
证明:连结AC,把△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△AEF,则
∠AEF=∠ABC,EF=BC,AF=AC
巧旋转妙解题
∴D、E、F三点共线
巧旋转妙解题
∴△ADF≌△ADC
∴∠ADF=∠ADC,即AD平分∠CDE
2. 当条件中的多边形有直角时,常先构造直角三角形,再把这个三角形进行旋转。
例5. 如图5,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于P,若四边形ABCD的面积为18,求DP的长。
巧旋转妙解题
图5
分析:注意到△ADP为直角三角形
而AD=CD,因此可把△ADP绕点D旋转,把原图形进行分割重组,使问题得到解决。
解:将△ADP绕点D逆时针旋转90°得到△CDE,则△CDE≌△ADP
巧旋转妙解题
∴B、C、E三点共线
又∵DP=DE
∠DPB=∠ABC=∠CED=90°
∴四边形PBED是正方形
巧旋转妙解题
巧旋转妙解题
3. 当条件图形中出现正方形时,常把含有正方形一边的直角三角形,绕正方形顶点旋转90°,使该边与另一边重合。(可以看成是前两种类型的特例)
例6. 如图6,正方形ABCD的边长为1,AB、AD上各有一点P、Q,如果△APQ的周长为2,求∠PCQ。
巧旋转妙解题
图6
分析:注意到正方形的特征:四边相等,四个内角为直角。我们可以把△DCQ绕点C逆时针旋转90°,使图形发生重组,利于应用△APQ的周长为2这个条件。
解:将△DCQ绕点C逆时针旋转90°得△BCE
则△DCQ≌△BCE,BE=DQ,CE=CQ,∠ECQ=90°
巧旋转妙解题
巧旋转妙解题
∴△QCP≌△ECP
巧旋转妙解题
通过以上几例的分析,相信大家对图形的旋转技巧有了一定的了解,希望同学们能在理解的基础上熟练应用。当然关于图形的旋转技巧不止以上几种,这需要大家在学习中去发现、去总结。

 

标签: (责任编辑: 101教育小编 )
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