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中学趣味数学:柯克曼女生问题

来源:101教育网整理 2016-08-30 字体大小: 分享到:

有一个学校有15个女生,她们每天要做三人行的散步,要使每个女生在一周内的每天做三人行散步时,与其她同学在组成三人小组同行时,彼此只有一次相遇在同一小组,应怎样安排?

这个问题是英国数学家柯克曼(1806~1895)于1850年提出,下面介绍一位英国牧师Andrew Frost的解答。

设15位女生用下面15个符号表示:x , a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 , d1 , d2 , e1 , e2 , f1 , f2 , g1 , g2 ;将它们排成七行,每天五个三人行小组(共十五人),使x处于七行中的最前一位置上:(x,a1,a2); (x,b1,b2); (x,c1,c2); (x,d1,d2); (x,e1,e2); (x,f1,f2); (x,g1,g2).

于是只须分配14个元素,再每一行中,后继三人行小组,即对有下标的七个元素a,b,c,d,e,f,g进行三元素组合,填入每行,但每个字母只许出项两次。即

  Sunday: (x,a,a), (b,d,f), (b,e,g), (c,d,g), (c,e,f);

  Monday: (x,b,b), (a,b,e), (a,f,g), (c,d,g), (c,e,f);

  Tuesday: (x,c,c), (a,d,e), (a,f,g), (b,d,f),(b,e,g);

  Wednsday:(x,d,d), (a,b,c), (a,f,g), (b,e,g),(c,e,f);

  Thursday: (x,e,e), (a,b,c), (a,f,g), (b,d,f), (c,d,g)

  Friday: (x,f,f), (a,b,c), (a,d,e), (b,e,g), (c,d,g);

  Saturday:(x,g,g), (a,b,c), (a,d,e), (b,d,f), (c,e,f)

现在来填下标,如果在同一行中,可以有两个相同字母,例如在第三行中bdf,beg中,b出现两次,可标上不同的脚标b1,b2;若每一个“三人行”,有两个脚标已定,则在同一行,别的三人行组不能再用;若不是由两种原则定出脚标,就定为1。得到解:

  Sunday: (x,a1,a2), (b1,d1,f1), (b2,e1,g1), (c1,d2,g2), (c2,e2,f2);

  Monday: (x,b1,b2), (a1,b2,e2), (a2,f2,g2), (c1,d1,g1), (c2,e1,f1);

  Tuesday: (x,c1,c2), (a1,d1,e1), (a2,f1,g1), (b1,d2,f2),(b2,e2,g2);

  Wednsday:(x,d1,d2), (a1,b2,c2), (a2,f2,g1), (b2,e1,g2),(c1,e2,f1);

  Thursday: (x,e1,e2), (a1,b1,c1), (a2,f1,g2), (b2,d1,f2), (c2,d2,g1)

  Friday: (x,f1,f2), (a1,b2,c1), (a2,d2,e1), (b1,e2,g1), (c2,d1,g2);

  Saturday:(x,g1,g2), (a1,b1,c2), (a2,d1,e2), (b2,d2,f1), (c1,e1,f2)。

标签: 数学 (责任编辑: 101教育小编 )
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