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高二数学知识点:勾股定理公式及定理讲解

来源:101教育网整理 2014-10-30 字体大小: 分享到:

  一、经典证明方法细讲

  方法一:

  作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

  ∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

  ∴∠EGF=∠BED,

  ∵∠EGF+∠GEF=90°,

  ∴∠BED+∠GEF=90°,

  ∴∠BEG=180°―90°=90°

  又∵AB=BE=EG=GA=c,

  ∴ABEG是一个边长为c的正方形.

  ∴∠ABC+∠CBE=90°

  ∵RtΔABC≌RtΔEBD,

  ∴∠ABC=∠EBD.

  ∴∠EBD+∠CBE=90°

  即∠CBD=90°

  又∵∠BDE=90°,∠BCP=90°,

  BC=BD=a.

  ∴BDPC是一个边长为a的正方形.

  同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

  设多边形GHCBE的面积为S,则

  ,

  ∴BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出:a^2+b^2=c^2

  方法二

  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.

  分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,

  ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,

  ∴FI=a,

  ∴G,I,J在同一直线上,

  ∵CJ=CF=a,CB=CD=c,

  ∠CJB=∠CFD=90°,

  ∴RtΔCJB≌RtΔCFD,

  同理,RtΔABG≌RtΔADE,

  ∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

  ∴∠ABG=∠BCJ,

  ∵∠BCJ+∠CBJ=90°,

  ∴∠ABG+∠CBJ=90°,

  ∵∠ABC=90°,

  ∴G,B,I,J在同一直线上,

  所以a^2+b^2=c^2



  二、勾股数的相关介绍

  ①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。

  ②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。

  ③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。]在一个三角形中,两条边的平方和等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形。

  三、勾股定理的命题方向

  命题1:以已知线段为边,求作一等边三角形。

  命题2:求以已知点为端点,作学科段与已知线段相等。

  命题3:已知大小两线段,求在大线段上截取学科段与小线段相等。

  命题4:两三角形的两边及其夹角对应相等,则这两个三角形全等。

  命题5:等腰三角形两底角相等。

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