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高中数学中常用的解题思想

来源:101教育网整理 2015-04-15 字体大小: 分享到:

  一、数形结合思想方法

  中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数形结合的知识,主要体现是解析几何。

  数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

  恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。

  数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。

  数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合。如:锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

  Ⅰ、再现性题组:

  设命题甲:0

  A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

  若log2

  A.0b>1D.b>a>1

  如果|x|≤,那么函数f(x)=cosx+sinx的最小值是_____。(89年全国文)

  A.B.-C.-1D.

  如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5,那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)

  A.增函数且最小值为-5B.增函数且最大值为-5

  C.减函数且最小值为-5D.减函数且最大值为-5

  设全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M={(x,y)|=1},N={(x,y)|y≠x+1},那么等于_____。(90年全国)

  A.φB.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y=x+1

  如果θ是第二象限的角,且满足cos-sin=,那么是_____。

  A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角,也可能第三象限角D.第二象限角

  已知集合E={θ|cosθ

  A.(,π)B.(,)C.(π,)D.(,)

  若复数z的辐角为,实部为-2,则z=_____。

  A.-2-2iB.-2+2iC.-2+2iD.-2-2i

  如果实数x、y满足等式(x-2)+y=3,那么的最大值是_____。(90年全国理)

  A.B.C.D.

  满足方程|z+3-i|=的辐角主值最小的复数z是_____。

  【简解】1小题:将不等式解集用数轴表示,可以看出,甲=>乙,选A;

  2小题:由已知画出对数曲线,选B;

  3小题:设sinx=t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值,选D;

  4小题:由奇函数图像关于原点对称画出图像,选B;

  5小题:将几个集合的几何意义用图形表示出来,选B;

  6小题:利用单位圆确定符号及象限;选B;

  7小题:利用单位圆,选A;

  8小题:将复数表示在复平面上,选B;

  9小题:转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题;选D;

  10小题:利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案-+i。

  【注】以上各题是历年的高考客观题,都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题,即借助数轴(①题)、图像(②、③、④、⑤题)、单位圆(⑥、⑦题)、复平面(⑧、⑩题)、方程曲线(⑨题)。

  二、分类讨论思想方法

  在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。

  引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:

  ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

  ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

  ③解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

  另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。

  进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。

  解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。

  Ⅰ、再现性题组:

  1.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x-3|≤a,x∈R},若AB,那么a的范围是_____。

  A.0≤a≤1B.a≤1C.a<1D.0

  2.若a>0且a≠1,p=log(a+a+1),q=log(a+a+1),则p、q的大小关系是_____。

  A.p=qB.pqD.当a>1时,p>q;当0

  3.函数y=+++的值域是_________。

  4.若θ∈(0,),则的值为_____。

  A.1或-1B.0或-1C.0或1D.0或1或-1

  5.函数y=x+的值域是_____。

  A.[2,+∞)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,+∞)D.[-2,2]

  6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形,则它的体积为_____。

  A.B.C.D.或

  7.过点P(2,3),且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

  A.3x-2y=0B.x+y-5=0C.3x-2y=0或x+y-5=0D.不能确定

  【简解】1小题:对参数a分a>0、a=0、a<0三种情况讨论,选B;

  2小题:对底数a分a>1、0

  3小题:分x在第一、二、三、四象限等四种情况,答案{4,-2,0};

  4小题:分θ=、0<θ<、<θ<三种情况,选D;

  5小题:分x>0、x<0两种情况,选B;

  6小题:分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况,选D;

  7小题:分截距等于零、不等于零两种情况,选C。

  三、函数与方程的思想方法

  函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。

  笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。

  函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。

  函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。

  Ⅰ、再现性题组:

  1.方程lgx+x=3的解所在的区间为_____。

  A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)

  2.如果函数f(x)=x+bx+c对于任意实数t,都有f(2+t)=f(2-t),那么_____。

  A.f(2)

  3.已知函数y=f(x)有反函数,则方程f(x)=a(a是常数)______。

  A.有且仅有一个实根B.至多一个实根C.至少一个实根D.不同于以上结论

  4.已知sinθ+cosθ=,θ∈(,π),则tgθ的值是_____。

  A.-B.-C.D.

  5.已知等差数列的前n项和为S,且S=S(p≠q,p、q∈N),则S=_________。

  6.关于x的方程sinx+cosx+a=0有实根,则实数a的取值范围是__________。

  7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°,则此棱锥的侧面积为___________。

  8.建造一个容积为8m,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低造价为___________。

  【简解】1小题:图像法解方程,也可代入各区间的一个数(特值法或代入法),选C;

  2小题:函数f(x)的对称轴为2,结合其单调性,选A;

  3小题:从反面考虑,注意应用特例,选B;

  4小题:设tg=x(x>0),则+=,解出x=2,再用万能公式,选A;

  5小题:利用是关于n的一次函数,设S=S=m,=x,则(,p)、(,q)、(x,p+q)在同一直线上,由两点斜率相等解得x=0,则答案:0;

  6小题:设cosx=t,t∈[-1,1],则a=t-t-1∈[-,1],所以答案:[-,1];

  7小题:设高h,由体积解出h=2,答案:24;

  8小题:设长x,则宽,造价y=4×120+4x×80+×80≥1760,答案:1760。

  四、等价转化思想方法

  等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。

  转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根),它能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求,实施等价转化时确保其等价性,保证逻辑上的正确。

  著名的数学家,莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

  等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换;它可以在宏观上进行等价转化,如在分析和解决实际问题的过程中,普通语言向数学语言的翻译;它可以在符号系统内部实施转换,即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想,我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说,等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性,我们要合理地设计好转化的途径和方法,避免死搬硬套题型。

  在数学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,即把我们遇到的问题,通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的问题,变成比较简单的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等;或者比较难以解决、比较抽象的问题,转化为比较直观的问题,以便准确把握问题的求解过程,比如数形结合法;或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作,转化过程省时省力,有如顺水推舟,经常渗透等价转化思想,可以提高解题的水平和能力。

  Ⅰ、再现性题组:

  1.f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于_____。

  A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5

  2.设f(x)=3x-2,则f[f(x)]等于______。

  A.B.9x-8C.xD.

  3.若m、n、p、q∈R且m+n=a,p+q=b,ab≠0,则mp+nq的最大值是______。

  A.B.C.D.

  4.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值为______。

  A.1B.C.2D.

  5.设椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c,直线l过(0,a)和(b,0),已知原点到l的距离等于c,则椭圆的离心率为_____。

  A.B.C.D.

  6.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,SA=5,SB=4,SC=3,D为AB的中点,E为AC的中点,则四棱锥S-BCED的体积为_____。

  A.B.10C.D.

  【简解】1小题:由已知转化为周期为2,所以f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5),选B;

  2小题:设f(x)=y,由互为反函数的值域与定义域的关系,选C;

  3小题:由mp+nq≤+容易求解,选A;

  4小题:由复数模几何意义利用数形结合法求解,选A;

  5小题:ab=×,变形为12e-31e+7=0,再解出e,选B;

  6小题:由S=S和三棱椎的等体积转化容易求,选A。

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标签: 知识点 数学 立体几何 充分条件 充要条件 (责任编辑:101教育小编)
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