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单调性与最大最小值检测试题

来源:101教育网整理 2015-04-16 字体大小: 分享到:
函数f(x)=9-ax2(a>0)在[0,3]上的最大值为(  ) A.9          B.9(1-a) C.9-a D.9-a2 解析:选A.x∈[0,3]时f(x)为减函数,f(x)max=f(0)=9. 2.函数y=x+1-x-1的值域为(  ) A.(-∞,2 ] B.(0,2 ] C.[2,+∞) D.[0,+∞) 解析:选B.y=x+1-x-1,∴x+1≥0x-1≥0, ∴x≥1. ∵y=2x+1+x-1为[1,+∞)上的减函数, ∴f(x)max=f(1)=2且y>0. 3.函数f(x)=x2-2ax+a+2在[0,a]上取得最大值3,最小值2,则实数a为(  ) A.0或1 B.1 C.2 D.以上都不对 解析:选B.因为函数f(x)=x2-2ax+a+2=(x-a)2-a2+a+2, 对称轴为x=a,开口方向向上,所以f(x)在[0,a]上单调递减,其最大值、最小值分别在两个端点处取得,即f(x)max=f(0)=a+2=3, f(x)min=f(a)=-a2+a+2=2.故a=1. 4.(2010年高考山东卷)已知x,y∈R+,且满足x3+y4=1.则xy的最大值为________. 解析:y4=1-x3,∴0<1-x3<1,0<x<3. 而xy=x•4(1-x3)=-43(x-32)2+3. 当x=32,y=2时,xy最大值为3. 答案:3 1.函数f(x)=x2在[0,1]上的最小值是(  ) A.1 B.0 C.14 D.不存在 解析:选B.由函数f(x)=x2在[0,1]上的图象(图略)知, f(x)=x2在[0,1]上单调递增,故最小值为f(0)=0. 2.函数f(x)=2x+6,x∈[1,2]x+7,x∈[-1,1],则f(x)的最大值、最小值分别为(  ) A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对 解析:选A.f(x)在x∈[-1,2]上为增函数,f(x)max=f(2)=10,f(x)min=f(-1)=6. 3.函数y=-x2+2x在[1,2]上的最大值为(  ) A.1 B.2 C.-1 D.不存在 解析:选A.因为函数y=-x2+2x=-(x-1)2+1.对称轴为x=1,开口向下,故在[1,2]上为单调递减函数,所以ymax=-1+2=1. 4.函数y=1x-1在[2,3]上的最小值为(  ) A.2 B.12 C.13 D.-12 解析:选B.函数y=1x-1在[2,3]上为减函数, ∴ymin=13-1=12. 5.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(  ) A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 解析:选C.设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15,x为正整数),则在乙地销售(15-x)辆,∴公司获得利润L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30.∴当x=9或10时,L最大为120万元,故选C. 6.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为(  ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:选C.f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a. ∴函数f(x)图象的对称轴为x=2, ∴f(x)在[0,1]上单调递增. 又∵f(x)min=-2, ∴f(0)=-2,即a=-2. f(x)max=f(1)=-1+4-2=1. 7.函数y=2x2+2,x∈N*的最小值是________. 解析:∵x∈N*,∴x2≥1, ∴y=2x2+2≥4, 即y=2x2+2在x∈N*上的最小值为4,此时x=1. 答案:4 8.已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是________. 解析:由题意知f(x)在[1,a]上是单调递减的, 又∵f(x)的单调减区间为(-∞,3], ∴1<a≤3. 答案:(1,3] 9.函数f(x)=xx+2在区间[2,4]上的最大值为________;最小值为________. 解析:∵f(x)=xx+2=x+2-2x+2=1-2x+2, ∴函数f(x)在[2,4]上是增函数, ∴f(x)min=f(2)=22+2=12, f(x)max=f(4)=44+2=23. 答案:23 12 10.已知函数f(x)=x2 -12≤x≤11x 1<x≤2, 求f(x)的最大、最小值. 解:当-12≤x≤1时,由f(x)=x2,得f(x)最大值为f(1)=1,最小值为f(0)=0; 当1<x≤2时,由f(x)=1x,得f(2)≤f(x)<f(1), 即12≤f(x)<1. 综上f(x)max=1,f(x)min=0. 11.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元. (1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解:(1)当每辆车的月租金为3600元时,未租出的车辆数为3600-300050=12.所以这时租出了88辆车. (2)设每辆车的月租金为x元.则租赁公司的月收益为f(x)=(100-x-300050)(x-150)-x-300050×50, 整理得 f(x)=-x250+162x-21000=-150(x-4050)2+307050. 所以,当x=4050时,f(x)最大,最大值为f(4050)=307050.即当每辆车的月租金为4050元时,租赁公司的月收益最大.最大月收益为307050元. 12.求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值. 解:f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a. ①当a<0时,由图①可知, f(x)min=f(0)=-1, f(x)max=f(2)=3-4a. ②当0≤a<1时,由图②可知, f(x)min=f(a)=-1-a2, f(x)max=f(2)=3-4a. ③当1≤a≤2时,由图③可知, f(x)min=f(a)=-1-a2, f(x)max=f(0)=-1. ④当a>2时,由图④可知, f(x)min=f(2)=3-4a, f(x)max=f(0)=-1. 综上所述,当a<0时,f(x)min=-1,f(x)max=3-4a; 当0≤a<1时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a; 当1≤a≤2时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=-1; 当a>2时,f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.

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