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和差化积公式

来源:101教育网整理 2015-05-14 字体大小: 分享到:

正弦、余弦的和差化积
公式
指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
因为
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,
将以上两式的左右两边分别相加,得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ,
设α+β=θ,α-β=φ
那么
α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
把α,β的值代入,即得
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)(附证明)
cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)【注意右式前的负号】
证明:左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立

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标签: 数学 函数 (责任编辑:101教育小编)
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