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海伦公式原理和推广应用

来源:101教育网整理 2015-05-14 字体大小: 分享到:

原理简介
中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。
假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长:
p=(a+b+c)/2
注1:"Metrica"(《论》)手抄本中用s作为半周长,所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。
由于任何n边的多边形都可以分割成(n-2)个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

推广应用
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:
设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p =(a+b+c)/2,则
S△ABC
=1/2 aha
=1/2 ab×sinC
=1/2 r p
= 2R2sinAsinBsinC
= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中,S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。

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标签: 数学 (责任编辑:101教育小编)
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