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高一数学集合知识点总结

来源:101教育网整理 2015-05-14 字体大小: 分享到:

一.知识归纳:

1.集合的有关概念。

1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类:有限集,无限集,空集。

4)常用数集:N,Z,Q,R,N*

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集:若对x∈A都有x∈B,则A B(或A B);

2)真子集:A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或 ,且 )

3)交集:A∩B={x x∈A且x∈B}

4)并集:A∪B={x x∈A或x∈B}

5)补集:CUA={x x A但x∈U}

注意:①? A,若A≠?,则? A ;

②若 , ,则 ;

③若 且 ,则A=B(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

5.交、并集运算的性质

①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A;

③Cu (A∪B)= CuA∩CuB,Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。

二.例题讲解:

【例1】已知集合M={xx=m+ ,m∈Z},N={xx= ,n∈Z},P={xx= ,p∈Z},则M,N,P满足关系

A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

分析一:从判断元素的共性与区别入手。

解答一:对于集合M:{xx= ,m∈Z};对于集合N:{xx= ,n∈Z}

对于集合P:{xx= ,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以M N=P,故选B。

分析二:简单列举集合中的元素。

解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。

= ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,

= P,∴N P 又 ∈N,∴P N,故P=N,所以选B。

点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。

变式:设集合 , ,则( B )

A.M=N B.M N C.N M D.

解:

当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B

【例2】定义集合A*B={xx∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为

A)1 B)2 C)3 D)4

分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。

解答:∵A*B={xx∈A且x B}, ∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。

变式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为

A)5个 B)6个 C)7个 D)8个

变式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

解:由已知,集合中必须含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .

【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答:∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴B={xx2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,

∴ ∴

变式:已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.

解:∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={xx2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足:A∪B={xx>-2},且A∩B={x1<>< p="">

分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。

解答:A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1] B,而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>

<><-1或x>

综合以上各式有B={x-1≤x≤5}

变式1:若A={xx3+2x2-8x>0},B={xx2+ax+b≤0},已知A∪B={xx>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)

点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。

变式2:设M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。

解答:M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

①当 时,ax-1=0无解,∴a=0 ②


综①②得:所求集合为{-1,0, }

【例5】已知集合 ,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。

分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解,再利用参数分离求解。

解答:(1)若 , 在 内有有解

令 当 时,

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式:若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

解答:

点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

三.随堂演练

选择题

1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

2.集合{1,2,3}的真子集共有

(A)5个 (B)6个 (C)7个 (D)8个

3.集合A={x } B={ } C={ }又 则有

(A)(a+b) A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个

4.设A、B是全集U的两个子集,且A B,则下列式子成立的是

(A)CUA CUB (B)CUA CUB=U

(C)A CUB= (D)CUA B=

5.已知集合A={ }, B={ }则A =

(A)R (B){ }

(C){ } (D){ }

6.下列语句:(1)0与{0}表示同一个集合; (2)由1,2,3组成的集合可表示为

{1,2,3}或{3,2,1}; (3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1,1,2}; (4)集合{ }是有限集,正确的是

(A)只有(1)和(4) (B)只有(2)和(3)

(C)只有(2) (D)以上语句都不对

7.设S、T是两个非空集合,且S T,T S,令X=S 那么S∪X=

(A)X (B)T (C)Φ (D)S

8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ,则不等式ax2+bx+c 0的解集为

(A)R (B) (C){ } (D){ }

填空题

9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为

10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B,则x=

11.若A={x } B={x },全集U=R,则A =

12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根,则k的取值范围是

13设集合A={ },B={x },且A B,则实数k的取值范围是。

14.设全集U={x 为小于20的非负奇数},若A (CUB)={3,7,15},(CUA) B={13,17,19},又(CUA) (CUB)= ,则A B=

解答题

15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3},求实数a。

16(12分)设A= , B= ,

其中x R,如果A B=B,求实数a的取值范围。

四.习题答案

选择题

1 2 3 4 5 6 7 8

C C B C B C D D


填空题

9.{(x,y) } 10.0, 11.{x ,或x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

解答题

15.a=-1

16.提示:A={0,-4},又A B=B,所以B A

(Ⅰ)B= 时, 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1

(Ⅱ)B={0}或B={-4}时, 0 得a=-1

(Ⅲ)B={0,-4}, 解得a=1

综上所述实数a=1 或a -1

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标签: 并集 非空真子集 函数 交集 空集 (责任编辑:101教育小编)
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