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高中数学归纳法的步骤

来源:101教育网整理 2015-05-14 字体大小: 分享到:

(一)第一数学归纳法:
一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况;
(2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。

(二)第二数学归纳法:
对于某个与自然数有关的命题P(n),
(1)验证n=n0时P(n)成立;
(2)假设n0≤n<=k时P(n)成立,并在此基础上,推出P(k+1)成立。
综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。

(三)倒推归纳法(反向归纳法):
(1)验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立(无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数,如对于算术几何不等式的证明,可以是2^k,k≥1);
(2)假设P(k+1)(k≥n0)成立,并在此基础上,推出P(k)成立,
综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立;

(四)螺旋式归纳法
对两个与自然数有关的命题P(n),Q(n),
(1)验证n=n0时P(n)成立;
(2)假设P(k)(k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k+1)成立;
综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),P(n),Q(n)都成立。

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