高二顶通班课表单收集

高二

101教育热线电话
400-6869-101
当前位置: 首页 > 高二> 高二数学> 高二数学知识点

高中数学数学归纳法教案设计

来源:101教育网整理 2015-05-14 字体大小: 分享到:

教学过程:
一、创设情境,启动思维
情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个,大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等;
教师总结:财主的儿子很傻很天真,但他懂一样思想方法,是什么? 以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法,这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题,小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷,什么年龄人叫阿姨,叫哥哥或姐姐.
情境二:华罗庚的“摸球实验”
1、这里有一袋球共12个,我们要判断这一袋球是白球,还是黑球,请问怎么判断?
启发回答:
方法一:把它全部倒出来看一看.特点:方法是正确的,但操作上缺乏顺序性.
方法二:一个一个拿,拿一个看一个.
比如结果为:第一个白球,第二个白球,第三个白球,……,第十二个白球,由此得到:这一袋球都是白球.特点:有顺序,有过程.
2、如果想象袋子有足够大容量,球也无限多?要判断这一袋球是白球,还是黑球,上述方法可行吗?
情境三: 回顾等差数列 通项公式推导过程:
          
    设计意图:首先设计情境一,分析情境,自然引出课题----归纳法,谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣,调动学生学习的积极性.情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题,很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.
二、师生互动,探究问题
承上启下:以上问题的思考和解决,用的都是归纳法.什么是归纳法? 归纳法特点是什么?上述归纳法有什么不同呢?
学生回答以上问题,得出结论:
1. 归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.  特点:由特殊→一般;
2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法;
3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.
在生活和生产实际中,归纳法有着广泛的应用.例如气象工作者、水文工作者,地震工作者依据积累的历史资料作气象预测,水文预报,地震预测用的就是归纳法.
4. 引导学生举例:
    ⑴不完全归纳法实例:如欧拉发现立体图形的欧拉公式: (V为顶点数,E为棱数,F为面数)
⑵ 完全归纳法实例: 如证明圆周角定理时,分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论.
    设计意图:从生活走向数学,与学生一起回顾以前学过的数学知识,并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例,进一步体会归纳意识,同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法,并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.
三 、借助史料, 引申思辨
问题1: 已知 = (n∈N),
(1) 分别求 ; ; ; .
(2) 由⑴你会有怎样的一个猜想?这个猜想正确吗?
问题2: 费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家,他是解析几何的发明者之一,是对微积分的创立作出贡献最多的人之一,是概率论的创始者之一,他对数论也有许多贡献.他曾认为,当n∈N时, 一定都是质数,这是他对n=0,1,2,3,4作了验证后得到的.后来,18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了 =4 294 967 297=6 700 417×641,从而否定了费马的推测.没想到当n=5这一结论便不成立.
教师总结: 有人说,费马为什么不再多算一个数呢?今天我们是无法回答的.但是要告诉同学们,失误的关键不在于多算一个数上!
问题3 : , 当n∈N时, 是否都为质数?
验证: f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,…,f(39)=1 601.但是f(40)=1 681= ,是合数.
承上启下:这里算了39个数不算少了吧,但还是不行!我们介绍以上两个资料,不是说世界级大师还出错,我们有错就可以原谅,也不是说归纳法不行,不去学了,而是要找出运用归纳法出错的原因,并研究出对策来 , 寻求数学证明.
教师设问:,不完全归纳法为什么会出错?如何弥补不足?怎么给出证明呢?
设计意图:在生活引例与已学数学知识的基础上,进一步引导学生看数学史料,能够让学生多方位多角度体会归纳法,感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨:在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论,不管是我们还是数学大师都有可能如此.那么,不完全归纳法价值体现在哪里?不足之处如何去弥补呢? 结论正确性怎样给出证明?学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.
四、实例再现,激发兴趣
1、演示多米诺骨牌游戏视频.
师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件:
 ⑴ 第一块要倒下;
 ⑵ 当前面一块倒下时,后面一块必须倒下;
    当满足这两个条件后,多米诺骨牌全部都倒下.
再举例:再举几则生活事例:推倒自行车, 早操排队对齐等.
2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理,探究出证明有关正整数命题的方法(建立数学模型).
设计意图:布鲁纳的发现学习理论认为,“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程.这里通过类比多米诺骨牌过程,让学生发现数学归纳法的雏形,是一种再创造的发现性学习.另外,这个环节里,我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好.应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理,教师给予肯定和补充即可。事实上,情境的设计都是为学生更好的知识迁移而服务的。概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦指出:思维都是在概括中完成的.心理学认为“迁移就是概括”,这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移,突破口就是学生的概括过程.
五、类比联想,形成概念
1、 类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式 (师生共同完成,教师强调步骤及注意点)
(1) 当n=1时等式成立;
(2) 假设当n=k时等式成立, 即 ,
则 = , 即n=k+1时等式也成立.
于是, 我们可以下结论: 等差数列的通项公式 对任何n∈ 都成立.
2.数学归纳法原理(学生表述,教师补正):
(1)(递推奠基):n取第一个值 (例如  )时命题成立;
(2)(递推归纳):假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确;(归纳假设)
利用它证明当n=k+1时结论也正确.(归纳证明)
由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确,这种证明方法叫做数学归纳法.
3、数学归纳法的本质:无穷的归纳→有限的演绎(递推关系)
设计意图:至此,由生活实例出发,与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程.教师强调数学归纳法特点. 数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理,它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程,是处理自然数有关问题的有力工具,一种具普遍性的方法.
六、讨论交流,深化认识
例1、 数列 中,  =1,  (n∈ ),  通项公式是什么?你是怎么得到的?
探讨一:观察数列 特点,变形解出.
探讨二:先计算 , , 的值,再推测通项 的公式, 最后用数学归纳法证明结论.
设计意图:通过典型例题使学生探究尝试,一方面体验“观察—归纳—猜想—证明”完整过程,既能巩固归纳法和数学归纳法,也能使他们体验数学方法,培养学生独立研究数学问题的意识和能力.不同的方法也体现解决问题的灵活性.
七、反馈练习, 巩固提高
(请两位同学板演以下两题,教师指正)
1、用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)= .
2、首项是 ,公比是q的等比数列的通项公式是 .
3、用数学归纳法证明:  时,下列推证是否正确,说出理由?
证明:假设 时,等式成立
就是  成立
那么
         =
这就是说当 时等式成立,
所以 时等式成立.
4、判断下列推证是否正确,若是不对,如何改正.
求证:
证明:①当n=1时,左边=  右边= ,等式成立.
   ②设n=k时,有
  那么,当n=k+1时,有
  ,即n=k+1时,命题成立
根据①②可知,对n∈N*,等式成立.
设计意图:练习题1,2的证明难度不大,套用数学归纳法的证明步骤不难解答,通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况.这样既可以检验学生的学习水平,保证不盲目拔高,同时不冲淡本节课的重点,对例题是一个很好的对比与补充.通过3,4的易错辨析,进一步体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论,“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.
八、总结归纳,加深理解
1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法;
2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种,枚举法仅局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性,数学归纳法属于完全归纳法;
3、数学归纳法作为一种证明方法,其基本思想是递推(递归)思想,使用要点可概括为:两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉;
4、本节课所涉及到的数学思想方法有:递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证思想.
九、布置作业, 课外延伸
十、书面作业:见教材P56
     课后思考题:
1. 是否存在常数a、b、c使得等式:
对一切自然数n都成立 并证明你的结论.
2.是否存在常数a、b、c,使得等式1
对一切自然数n都成立?并证明你的结论(a=3,b=11,c=10)
设计意图: 思考题则起着承上启下的作用,  它既是“观察—归纳—猜想—证明”的完整思维探究过程的再体验,也是对下节课内容的铺垫与伏笔. 文 章来源

名师测评 限额免费

  • 刘叶

    高二化学 5.0

    高级教师,2000年毕业于河北师范大学化学系,自毕业以来一直担任班主任及高中化学教学工作,在工作期间,所教班级在高考中多次取得市前三名的好成绩,被评为市级模范教师,市级化学学科带头人等称号。

  • 王明明

    高三数学 5.0

    101学酷名师,9年高中数学教学经验,总结出一套快速提升学习成绩的方法以及答题的技巧。将教学与故事结合,让学生举一反三,上课能听懂,考试不用愁

  • 于长富

    高三语文 5.0

    从教30余年,教学经验丰富。1985年--2000年,山东威海重点中学历史教师;2000--2010北京重点中学;2010--至今崛起中学。教学风格严谨,教学内容实用,使学生受益匪浅。

  • 周于

    高三英语 5.0

    高级教师,被评为市级模范教师,市级英语学科带头人等称号;网络教学6年,有丰富的网络教学经验。教学风格幽默风趣、激情而有耐心,深受各位家长和学生的喜爱,我愿付出我的一切,为孩子们在学习上排忧解难。

  • 龚新明

    高三物理 5.0

    中学一级教师,湖北省黄冈市优秀教师,2006年生物科学专业(师范类)本科毕业,2009年生物学硕士毕业,获理学硕士学位。曾辅导学生参加全国生物竞赛获一等奖。所教多届高三毕业班成绩突出,多次被评为黄冈市优秀教育工作者。

  • 程建辉

    高三化学 5.0

    化学专业硕士,中学一级教师,省示范高中化学名师,多次参加高考阅卷工作,辅导学生参加全国化学竞赛赛,并获得指导老师优秀奖。从教十多年来形成了自己独特完整的化学教学方法,使他们在化学的学习思路和成绩上有很大的提高。

姓名
手机
验证码
获取验证码
您的需求
在线预约
立即申请
新高二赢在起跑线
标签: 数学 历史 (责任编辑:101教育小编)
开学钜惠
10秒填写领取秋季高分规划
姓名
手机号
年级
*图形验证码
获取验证码
提交
作业答疑