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无锡市2015初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)

来源:101教育网整理 2016-02-17 字体大小: 分享到:
  无锡市2015初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)
  一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.)
  1.下列标志中,可以看作是轴对称图形的是(     )
  A.  B.  C.  D.
  2.在下列各组条件中,不能说明△ABC≌△DEF的是(     )
  A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F B.AC=DF,BC=EF,∠A=∠D
  C.AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E D.AB=DE,BC=EF,AC=DF
  3.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是(     )
  A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.2,3,4 D.1, ,3
  4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB于点E,若AB=6cm,则△DEB的周长是(     )
  A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
  5.如图,如果把△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A′点,连接A′B,则线段A′B与线段AC的关系是(     )
  A.垂直 B.相等 C.平分 D.平分且垂直
  6.如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连接PM,PN,则下列结论:①PM=PN;②△PMN为等边三角形;下面判断正确是(     )
  A.①正确 B.②正确 C.①②都正确 D.①②都不正确
  7.一等腰三角形底边长为8cm,腰长为5cm,则腰上的高为(     )
  A.3cm B. cm C. cm D. cm
  8.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,DF⊥AC交AC的延长线于F,连接CD,给出四个结论:①∠ADC=45°;②BD= AE;③AC+CE=AB;④AB﹣BC=2FC;其中正确的结论有(     )
  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
  二、填空题(本大题共11小题,每空2分,共22分.)
  9.如图,在△ABC与△ADC中,已知AD=AB,在不添加任何辅助线的前提下,要使△ABC≌△ADC,只需再添加的一个条件可以是__________.
  10.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠DBC=15°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠A的度数是__________.
  11.如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长等于__________.
  12.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=3cm,BC=4cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD=__________.
  13.等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm,则这个三角形的周长为__________cm.
  14.一个等腰三角形的一个角为80°,则它的顶角的度数是__________.
  15.直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm,则它的面积是__________cm2.
  16.△ABC中,点O是△ABC内一点且到△ABC三边的距离相等,∠A=40°,则∠BOC=__________.
  17.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,PN+PM+MN的最小值是5cm,则∠AOB的度数是__________.
  18.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为__________.
  19.如图,在△ABC中AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为__________.
  三、简答题:(本大题共7小题,共54分)
  20.如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上.
  (1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′;
  (2)在直线l上找一点P(在答题纸上图中标出),使PB+PC的长最短,这个最短长度的平方值是__________.
  21.如图,已知△ABC,AC<AB.
  (1)用直尺和圆规作出一条过点A的直线l,使得点C关于直线l的对称点落在边AB上(不写作法,保留作图痕迹);
  (2)设直线l与边BC的交点为D,且∠C=2∠B,请你通过观察或测量,猜想线段AB、AC、CD之间的数量关系,并说明理由.
  22.如图,E,F在BC上,BE=CF,AB=CD,AB∥CD.求证:
  (1)△ABF≌△DCE.
  (2)AF∥DE.
  23.如图,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地,已知AD=8米,CD=6米,∠ADC=90°,AB=26米,BC=24米,小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,已知草坪每平方米100元,试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元?
  24.如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,使得点D与点B重合,点C落在点C′的位置上.
  (1)折叠后,DC的对应线段是__________,CF的对应线段是__________;
  (2)若AB=8,DE=10,求CF的长度.
  25.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜的发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:
  将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2
  证明:连结DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a
  ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b2+ ab.
  又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c2+ a(b﹣a)
  ∴ b2+ ab= c2+ a(b﹣a)
  ∴a2+b2=c2
  请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.
  将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.
  26.如图,△ABC中,∠C=Rt∠,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.
  (1)出发2秒后,求△ABP的周长.
  (2)问t为何值时,△BCP为等腰三角形?
  (3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?



  无锡市2015初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)参考答案及试题解析
  一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.)
  1.下列标志中,可以看作是轴对称图形的是(     )
  A.  B.  C.  D.
  【考点】轴对称图形.
  【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
  【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;
  B、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;
  C、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;
  D、是轴对称图形,符合题意.
  故选:D.
  【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义,掌握中心对称图形与轴对称图形的概念,解答时要注意:
  判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部沿对称轴叠后可重合;判断中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180度后与原图重合.
  2.在下列各组条件中,不能说明△ABC≌△DEF的是(     )
  A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F B.AC=DF,BC=EF,∠A=∠D
  C.AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E D.AB=DE,BC=EF,AC=DF
  【考点】全等三角形的判定.
  【分析】根据题目所给的条件结合判定三角形全等的判定定理分别进行分析即可.
  【解答】解:A、AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F,可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF,故此选项不合题意;
  B、AC=DF,BC=EF,∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEF,故此选项符合题意;
  C、AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E,可以利用ASA定理证明△ABC≌△DEF,故此选项不合题意;
  D、AB=DE,BC=EF,AC=DF可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF,故此选项不合题意;
  故选:B.
  【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
  注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
  3.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是(     )
  A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.2,3,4 D.1, ,3
  【考点】勾股定理的逆定理.
  【专题】计算题.
  【分析】由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.
  【解答】解:A、42+52=41≠62,不可以构成直角三角形,故A选项错误;
  B、1.52+22=6.25=2.52,可以构成直角三角形,故B选项正确;
  C、22+32=13≠42,不可以构成直角三角形,故C选项错误;
  D、12+( )2=3≠32,不可以构成直角三角形,故D选项错误.
  故选:B.
  【点评】本题考查勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.
  4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB于点E,若AB=6cm,则△DEB的周长是(     )
  A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
  【考点】角平分线的性质;等腰直角三角形.
  【分析】根据角平分线的性质得到DC=DE,AC=AE,根据三角形的周长公式计算即可.
  【解答】解:∵AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB,∠C=90°,
  ∴DC=DE,AC=AE,
  ∴△DEB的周长=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm.
  故选:B.
  【点评】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.



  5.如图,如果把△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A′点,连接A′B,则线段A′B与线段AC的关系是(     )
  A.垂直 B.相等 C.平分 D.平分且垂直
  【考点】平移的性质;勾股 定理.
  【专题】网格型.
  【分析】先根据题意画出图形,再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B与线段AC的关系.
  【解答】解:如图,将点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A′点,连接A′B,与线段AC交于点O.
  ∵A′O=OB= ,AO=OC=2 ,
  ∴线段A′B与线段AC互相平分,
  又∵∠AOA′=45°+45°=90°,
  ∴A′B⊥AC,
  ∴线段A′B与线段AC互相垂直平分.
  故选:D.
  【点评】本题考查了平移的性质,勾股定理,正确利用网格求边长长度及角度是解题的关键.
  6.如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连接PM,PN,则下列结论:①PM=PN;②△PMN为等边三角形;下面判断正确是(     )
  A.①正确 B.②正确 C.①②都正确 D.①②都不正确
  【考点】直角三角形斜边上的中线;等边三角形的判定.
  【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确;根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°,再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°,从而得到∠MPN=60°,又由①得PM=PN,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断②正确.
  【解答】解:①∵BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,
  ∴PM= BC,PN= BC,
  ∴PM=PN,正确;
  ②∵∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,
  ∴∠ABM=∠ACN=30°,
  在△ABC中,∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°,
  ∵点P是BC的中点,BM⊥AC,CN⊥AB,
  ∴PM=PN=PB=PC,
  ∴∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM,
  ∴∠BPN+∠CPM=2(∠BCN+∠CBM)=2×60°=120°,
  ∴∠MPN=60°,
  ∴△PMN是等边三角形,正确;
  所以①②都正确.
  故选:C.
  【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,等边三角形的判定与性质,熟练掌握性质是解题的关键.
  7.一等腰三角形底边长为8cm,腰长为5cm,则腰上的高为(     )
  A.3cm B. cm C. cm D. cm
  【考点】勾股定理;等腰三角形的性质.
  【分析】作AD⊥BC于D,作CE⊥AB于E,由等腰三角形的性质得出BD,由勾股定理求出AD,由三角形面积的计算方法即可求出腰上的高.
  【解答】解:如图所示:
  作AD⊥BC于D,作CE⊥AB于E,
  则∠ADB=90°,
  ∵AB=AC,
  ∴BD= BC=4cm,
  ∴AD= = =3(cm),
  ∵△ABC的面积= AB?CE= BC?AD,
  ∴AB?CE=BC?AD,
  即5×CE=8×3,
  解得:CE= ,
  即腰上的高为 ;
  故选:C.
  【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质三角形面积的计算;熟练掌握等腰三角形的性质,运用勾股定理求出AD是解决问题的关键.



  8.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,DF⊥AC交AC的延长线于F,连接CD,给出四个结论:①∠ADC=45°;②BD= AE;③AC+CE=AB;④AB﹣BC=2FC;其中正确的结论有(     )
  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
  【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰直角三角形.
  【分析】过E作EQ⊥AB于Q,作∠ACN=∠BCD,交AD于N,过D作DH⊥AB于H,根据角平分线性质求出CE=EQ,DF=DH,根据勾股定理求出AC=AQ,AF=AH,根据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE,即可求出③;根据三角形外角性质求出∠CND=45°,证△ACN≌△BCD,推出CD=CN,即可求出②①;证△DCF≌△DBH,得到CF=BH,AF=AH,即可求出④.
  【解答】解:如图,
  过E作EQ⊥AB于Q,
  ∵∠ACB=90°,AE平分∠CAB,
  ∴CE=EQ,
  ∵∠ACB=90°,AC=BC,
  ∴∠CBA=∠CAB=45°,
  ∵EQ⊥AB,
  ∴∠EQA=∠EQB=90°,
  由勾股定理得:AC=AQ,
  ∴∠QEB=45°=∠CBA,
  ∴EQ=BQ,
  ∴AB=AQ+BQ=AC+CE,
  ∴③正确;
  作∠ACN=∠BCD,交AD于N,
  ∵∠CAD= ∠CAB=22.5°=∠BAD,
  ∴∠ABD=90°﹣22.5°=67.5°,
  ∴∠DBC=67.5°﹣45°=22.5°=∠CAD,
  ∴∠DBC=∠CAD,
  在△ACN和△BCD中,
  ,
  ∴△ACN≌△BCD,
  ∴CN=CD,AN=BD,
  ∵∠ACN+∠NCE=90°,
  ∴∠NCB+∠BCD=90°,
  ∴∠CND=∠CDA=45°,
  ∴∠ACN=45°﹣22.5°=22.5°=∠CAN,
  ∴AN=CN,
  ∴∠NCE=∠AEC=67.5°,
  ∴CN=NE,
  ∴CD=AN=EN= AE,
  ∵AN=BD,
  ∴BD= AE,
  ∴①正确,②正确;
  过D作DH⊥AB于H,
  ∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°,
  ∠DBA=90°﹣∠DAB=67.5°,
  ∴∠FCD=∠DBA,
  ∵AE平分∠CAB,DF⊥AC,DH⊥AB,
  ∴DF=DH,
  在△DCF和△DBH中
  ,
  ∴△DCF≌△DBH,
  ∴BH=CF,
  由勾股定理得:AF=AH,
  ∴ = =  = =2,
  ∴AC+AB=2AF,
  AC+AB=2AC+2CF,
  AB﹣AC=2CF,
  ∵AC=CB,
  ∴AB﹣CB=2CF,
  ∴④正确.
  故选D
  【点评】本题主要考查了三角形的外角性质,三角形的内角和定理,等腰三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质,全等三角形的性质和判定,等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.



  二、填空题(本大题共11小题,每空2分,共22分.)
  9.如图,在△ABC与△ADC中,已知AD=AB,在不添加任何辅助线的前提下,要使△ABC≌△ADC,只需再添加的一个条件可以是DC=BC或∠DAC=∠BAC.
  【考点】全等三角形的判定.
  【专题】开放型.
  【分析】添加DC=BC,利用SSS即可得到两三角形全等;添加∠DAC=∠BAC,利用SAS即可得到两三角形全等.
  【解答】解:添加条件为DC=BC,
  在△ABC和△ADC中,
  ,
  ∴△ABC≌△ADC(SSS);
  若添加条件为∠DAC=∠BAC,
  在△ABC和△ADC中,
  ,
  ∴△ABC≌△ADC(SAS).
  故答案为:DC=BC或∠DA C=∠BAC
  【点评】此题考查了全等三角形的判定,熟练掌握全等 三角形的判定方法是解本题的关键.
  10.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠DBC=15°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠A的度数是50°.
  【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.
  【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD,根据等边对等角可得∠A=∠ABD,然后表示出∠ABC,再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC,然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可.
  【解答】解:∵MN是AB的垂直平分线,
  ∴AD=BD,
  ∴∠A=∠ABD,
  ∵∠DBC=15°,
  ∴∠ABC=∠A+15°,
  ∵AB=AC,
  ∴∠C=∠ABC=∠A+15°,
  ∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°,
  解得∠A=50°.
  故答案为:50°.
  【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,等腰三角形的性质,熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角,然后列出方程是解题的关键.
  11.如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长等于8.
  【考点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线.
  【专题】计算题.
  【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10;然后在直角△ACD中,利用勾股定理来求线段CD的长度即可.
  【解答】解:如图,∵△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点,DE=5,
  ∴DE= AC=5,
  ∴AC=10.
  在直角△ACD中,∠ADC=90°,AD=6,AC=10,则根据勾股定理,得
  CD= = =8.
  故答案是:8.
  【点评】本题考查了勾股定理,直角三角形斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点.
  12.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=3cm,BC=4cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD= cm.
  【考点】翻折变换(折叠问题).
  【分析】先利用勾股定理求得AB=5,然后由翻折的性质得到AE=AC=3,CD=DE,则EB=2,设CD=EC=x,则BD=4﹣x,然后在Rt△DEB中利用勾股定理列方程求解即可.
  【解答】解:在Rt△ACB中,AB= =5,
  由翻折的性质可知:AE=AC=3,CD=DE,则BE=2.
  设CD=DE=x,则BD=4﹣x.
  Rt△DEB中,由勾股定理得:DB2=DE2+EB2,即(4﹣x)2=x2+22,
  解得:x= .
  ∴CD= .
  故答案为:    .
  【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用,利用翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键.



  13.等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm,则这个三角形的周长为10cm.
  【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.
  【分析】题中没有指明哪边是底哪边是腰,则应该分两种情况进行分析.
  【解答】解:(1)当三边是2cm,2cm,4cm时,2+2=4cm,不符合三角形的三边关系,应舍去;
  (2)当三边是2cm,4cm,4cm时,符合三角形的三边关系,此时周长是10cm;
  所以这个三角形的周长是10cm.
  故填10.
  【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
  14.一个等腰三角形的一个角为80°,则它的顶角的度数是80°或20°.
  【考点】等腰三角形的性质.
  【分析】等腰三角形一内角为80°,没说明是顶角还是底角,所以有两种情况.
  【解答】解:(1)当80°角为顶角,顶角度数即为80°;
  (2)当80°为底角时,顶角=180°﹣2×80°=20°.
  故答案为:80°或20°.
  【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,属于基础题,若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键.
  15.直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm,则它的面积是30cm2.
  【考点】直角三角形斜边上的中线.
  【分析】由于直角三角形斜边上的中线是6cm,因而斜边是12cm,而高线已知,因而可以根据面积公式求出三角形的面积.
  【解答】解:∵直角三角形斜边上的中线是6cm,
  ∴斜边是12cm,
  ∴S△= ×5×12=30cm2
  ∴它的面积是30cm2.
  故填:30cm2.
  【点评】本题主要考查了直角三角形的性质:斜边上的中线等于斜边的一半.
  16.△ABC中,点O是△ABC内一点且到△ABC三边 的距离相等,∠A=40°,则∠BOC=110°.
  【考点】角平分线的性质.
  【分析】根据O到三角形三边距离相等,得到O是内心,再利用三角形内角和定理和角平分线的概念即可求出∠BOC的度数.
  【解答】解:∵O到三角形三边距离相等,
  ∴O是内心,
  ∴AO,BO,CO都是角平分线,
  ∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC,∠BCO=∠ACO= ∠ACB,
  ∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°,
  ∠OBC+∠OCB=70°,
  ∠BOC=180°﹣70°=110°.
  故答案为:110°.
  【点评】本题考查的是角平分线的定义和三角形的内心的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
  17.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,PN+PM+MN的最小值是5cm,则∠AOB的度数是30°.
  【考点】轴对称-最短路线问题.
  【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,由对称的性质得出PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,得出∠AOB= ∠COD,证出△OCD是等边三角形,得出∠COD=60°,即可得出结果.
  【解答】解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,
  分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如 图所示:
  ∵点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,
  ∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA;
  ∵点P关于OB的对称点为C,
  ∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,
  ∴OC=OP=OD,∠AOB= ∠COD,
  ∵PN+PM+MN的最小值是5cm,
  ∴PM+PN+MN=5,
  ∴DM+CN+MN=5,
  即CD=5=OP,
  ∴OC=OD=CD,
  即△OCD是等边三角形,
  ∴∠COD=60°,
  ∴∠AOB=30°.
  故答案为:30°.
  【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质;熟练掌握轴对称的性质, 证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.



  18.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为63°或27°.
  【考点】等腰三角形的性质.
  【专题】分类讨论.
  【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数.
  【解答】解:在三角形ABC中,设AB=AC,BD⊥AC于D.
  ①若是锐角三角形,∠A=90°﹣36°=54°,
  底角=(180°﹣54°)÷2=63°;
  ②若三角形是钝角三角形,∠BAC=36°+90°=126°,
  此时底角=(180°﹣126°)÷2=27°.
  所以等腰三角形底角的度数是63°或27°.
  故答案为:63°或27°.
  【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用,此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理.
  19.如图,在△ABC中AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为21.
  【考点】勾股定理.
  【专题】计算题.
  【分析】在直角三角形ACD中,利用勾股定理求出CD的长,在直角三角形ABD中,利用勾股定理求出BD的长,由CD+BD求出BC的长即可.
  【解答】解:在Rt△ACD中,AC=10,AD=8,
  根据勾股定理得:CD= =6,
  在Rt△ABD中,AB=17,AD=8,
  根据勾股定理得:BD= =15,
  则BC=6+15=21,
  故答案为:21
  【点评】此题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
  三、简答题:(本大题共7小题,共54分)
  20.如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上.
  (1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′;
  (2)在直线l上找一点P(在答题纸上图中标出),使PB+PC的长最短,这个最短长度的平方值是13.
  【考点】作图-轴对称变换.
  【分析】(1)分别找到各点的对称点,顺次连接可得△A′B′C′.
  (2)连接B"C,则B"C与l的交点即是点P的位置,求出PB+PC的值即可.
  【解答】解:(1)如图所示:
  .
  (2)如图所示:
  PB+PC=PB"+PC=B"C= = .
  则这个最短长度的平方值是13.
  【点评】本题考查了轴对称作图及最短路线问题,解答本题的关键是掌握轴对称的性质,难度一般.



  21.如图,已知△ABC,AC<AB.
  (1)用直尺和圆规作出一条过点A的直线l,使得点C关于直线l的对称点落在边AB上(不写作法,保留作图痕迹);
  (2)设直线l与边BC的交点为D,且∠C=2∠B,请你通过观察或测量,猜想线段AB、AC、CD之间的数量关系,并说明理由.
  【考点】作图—复杂作图;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
  【专题】作图题.
  【分析】(1)先作∠BAC的平分线l,再过点C作CF⊥l交AB于F,则可得到点C和F点关于l对称,所以l为所作;
  (2)连结DF,如图,利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC,则AD垂直平分CF,所以DF=DC,则∠DCF=∠DFC,再利用三角形外角性质得∠BDF=2∠DCF,接着证明∠B=2∠BCF,于是得到∠B=∠BDF,则FB=FD=CD,则易得AB=AF+FB=AC+CD.
  【解答】解:(1)如图,直线l为所作;
  (2)AB=AC+CD.理由如下:
  连结DF,如图,
  ∵AD平分∠BAC,AD⊥CF,
  ∴AF=AC,
  ∴AD垂直平分CF,
  ∴DF=DC,
  ∴∠DCF=∠DFC,
  ∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF,
  ∵∠AFC=∠ACF,
  ∵∠AFC=∠B+∠BCF,
  ∴∠ACF=∠B+∠BCF,
  ∵∠ACB=2∠B,
  ∴2∠B﹣∠BCF=∠B+∠BCF,
  ∴∠B=2∠BCF,
  ∴∠B=∠BDF,
  ∴FB=FD,
  ∴FB=CD,
  ∴AB=AF+FB=AC+CD.
  【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了角平分线的性质.
  22.如图,E,F在BC上,BE=CF,AB=CD,AB∥CD.求证:
  (1)△ABF≌△DCE.
  (2)AF∥DE.
  【考点】全等三角形的判定与性质.
  【专题】证明题.
  【分析】(1)由等式的性质就可以得出BF=CE,由平行线的性质就可以得出∠B=∠C,根据SAS就可以得出结论;
  (2)由△ABF≌△DCE就可以得出∠AFB=∠DEC就可以得出结论.
  【解答】证明:∵BE=CF,
  ∴BE+EF=CF+EF,
  ∴BF=CE.
  ∵AB∥CD,
  ∴∠B=∠C .
  在△ABF和△DCE中
  ,
  ∴△ABF≌△DCE(SAS);
  (2)∵△ABF≌△DCE,
  ∴∠AFB=∠DEC,
  ∴AF∥DE.
  【点评】本题考查了等式的性质的运用,平行线的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.
  23.如图,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地,已知AD=8米,CD=6米,∠ADC=90°,AB=26米,BC=24米,小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,已知草坪每平方米100元,试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元?
  【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理.
  【分析】连接AC,根据勾股定理求出AC,根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°,求出区域的面积,即可求出答案.
  【解答】解:连结AC,如图所示:
  在Rt△ACD中,∠ADC=90°,AD=4米,CD=3米,
  由勾股定理得:AC= =10(米),
  ∵AC2+BC2=102+242=676,AB2=262=676,
  ∴AC2+BC2=AB2,
  ∴∠ACB=90°,
  ∴该区域面积S=S△ACB﹣S△ADC= ×10×24﹣ ×6×8=96(平方米),
  ∴铺满这块空地共需花费=96×100=9600元.
  【点评】本题考查了勾股定理,三角形面积,勾股定理的逆定理的应用;解此题的关键是求出区域的面积.



  24.如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,使得点D与点B重合,点C落在点C′的位置上.
  (1)折叠后,DC的对应线段是BC′,CF的对应线段是FC′;
  (2)若AB=8,DE=10,求CF的长度.
  【考点】翻折变换(折叠问题).
  【分析】(1)根据翻折后的对应点确定出对应线段即可;
  (2)在Rt△ABE中由勾股定理可求得AE=6,从而得到AD=16,然后证明BE=BF=10,从而可求得FC=16﹣10=6.
  【解答】解:(1)∵点D与点B重合,点C落在点C′的位置上,
  ∴DC的对应线段是BC′,CF的对应线段是FC′.
  故答案为:BC′;FC′.
  (2)由翻折的性质可知:DE=BE=10,∠2=∠BEF.
  ∵AD∥BC,
  ∴∠2=∠1.
  ∴∠1=∠BEF.
  ∴BE=BF=10.
  在Rt△A BE中,由勾股定理得:AE= = =6,
  ∴AD=AE+ED=6+10=16.
  ∴CF=CB﹣BF=16﹣10=6.
  【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用,证得BE=BF=10是解题的关键.
  25.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜的发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证 明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:
  将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2
  证明:连结DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a
  ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b2+ ab.
  又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c2+ a(b﹣a)
  ∴ b2+ ab= c2+ a(b﹣a)
  ∴a2+b2=c2
  请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.
  将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.
  【考点】勾股定理的证明.
  【分析】首先连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b﹣a,表示出S五边形ACBED,两者相等,整理即可得证.
  【解答】证明:连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b﹣a,
  ∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE= ab+ b2+ ab,
  又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE= ab+ c2+ a(b﹣a),
  ∴ ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a(b﹣a),
  ∴a2+b2=c2.
  【点评】此题考查了勾股定理的证明,用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键.
  26.如图,△ABC中,∠C=Rt∠,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B →C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.
  (1)出发2秒后,求△ABP的周长.
  (2)问t为何值时,△BCP为等腰三角形?
  (3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?
  【考点】等腰三角形的判定与性质.
  【专题】计算题;动点型.
  【分析】(1)根据速度为每秒1cm,求出出发2秒后CP的长,然后就知AP的长,利用勾股定理求得PB的长,最后即可求得周长.
  (2)因为AB与CB,由勾股定理得AC=4 因为AB为5cm,所以必须使AC=CB,或CB=AB,所以必须使AC或AB等于3,有两种情况,△BCP为等腰三角形.
  (3)分类讨论:当P点在AC上,Q在AB上,则PC=t,BQ=2t﹣3,t+2t﹣3=6;当P点在AB上,Q在AC上,则AC=t﹣4,AQ=2t﹣8,t﹣4+2t﹣8=6.
  【解答】解:(1)如图1,由∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,
  ∴AC=4,动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,
  ∴出发2秒后,则CP=2,
  ∵∠C=90°,
  ∴PB= = ,
  ∴△ABP的周长为:AP+PB+AB=2+5+ =7 .
  (2)①如图2,若P在边AC上时,BC=CP=3cm,
  此时用的时间为3s,△BCP为等腰三角形;
  ②若P在AB边上时,有三种情况:
  i)如图3,若使BP=CB=3cm,此时AP=2cm,P运动的路程为2+4=6cm,
  所以用的时间为6s,△BCP为等腰三角形;
  ii)如图4,若CP=BC=3cm,过C作斜边AB的高,根据面积法求得高为2.4cm,
  作CD⊥AB于点D,
  在Rt△PCD中,PD  = = =1.8,
  所以BP=2PD=3.6cm,
  所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm,
  则用的时间为5.4s,△BCP为等腰三角形;
  ⅲ)如图5,若BP=CP,此时P应该为斜边AB的中点,P运动的路程为4+2.5=6.5cm
  则所用的时间为6.5s,△BCP为等腰三角形;
  综上所述,当t为3s、5.4s、6s、6.5s时,△BCP为等腰三角形
  (3)如图6,当P点在AC上,Q在AB上,则PC=t,BQ=2t﹣3,
  ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,
  ∴t+2t﹣3=3,
  ∴t=2;
  如图7,当P点在AB上,Q在AC上,则AP=t﹣4,AQ=2t﹣8,
  ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,
  ∴t﹣4+2t﹣8=6,
  ∴t=6,
  ∴当t为2或6秒时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分.
  【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握,但是此题涉及到了动点,对于初二学生来说是个难点,尤其是第(2)由两种情况,△BCP为等腰三角形,因此给这道题又增加了难度,因此这是一道难题.

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