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构造直角三角形解题

来源:101教育网整理 2016-09-26 字体大小: 分享到:
在解某些数学问题时,若能根据题意构造出直角三角形,则可利用直角三角形的性质,巧妙地将题目解出。下面举例说明。
1、求线段长
[例1]在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,∠D=90°,AB=2,CD=1。求BC和AD的长。
解:延长AD、BC交于F,得Rt△ABF和Rt△CDF,且∠F=30°。

在Rt△ABF中,由AB=2,∠F=30°
得AF=2AB=4

同理可得CF=2,DF=
∴BC=BF-CF=,AD=AF-DF=4-
2、求角的度数
[例2]如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=60°,D在AC的延长线上,AB=CD。求∠CBD。

解:作AE⊥BC于E,连DE,在Rt△ABE中
,BE=AE,在Rt△AEC中,
所以。则AB=
而AB=,故CE=CD
∠1=∠2=∠ACB=30°
又∠EAC=30°,所以DE=AE=BE
所以∠CBD=∠3=∠1=15°
3、证线段倍分
[例3]如图,∠B=90°,∠1=∠2=60°,∠C=45°,求证:CD+BD=AB。
证明:把△ABD绕AD翻转到△AB”D的位置,则B”D=BD,AB”=AB,∠B”=∠B=90o,∠2=∠3。

由∠1+∠2+∠3=180°,知C、D、B”三点共线,故△AB”C为等腰直角三角形,从而有:CD+B”D=AB”,∴CD+BD=AB。
4、证不等
[例4]如图,在△ABC中,BC>AC,AD、BE为高,
求证:BC+AD>AC+BE。

证明:由题意,在BC上取一点A”,使A”C=AC,作A”D”⊥AC于D”,A”F⊥BE于F,则四边形EFA”D”为矩形,得A”D”=FE
又有Rt△A”D”C≌Rt△ADC,于是A”D”=AD
∴BA”=BC-A”C=BC-AC
BF=BE-FE=BE-A”D”=BE-AD
在Rt△A”BF中,BA”>BF,即BC-AC>BE-AD
∴BC+AD>AC+BE.
5、解三角问题
[例5]求cot22.5°的值。
解:构造如图所示的Rt△ABC,则
cot22.5°=

6、解代数问题
[例6]若a>3,求证:
证明:作出如图所示的Rt△ABC,由BD+AD>AB,得



7、求最值
[例7]若m、n、p为正实数,且,求:的最小值。
解:构造如图所示的直角三角形,易知CD≤AE,即

的最小值为

[例8]的最小值。
解:构造如图所示的Rt△PAC,Rt△PBD,使AC=1,BD=2,PC=x,CD=4,且PC、PD在直线L上,则所求最小值转化为“在直线L上求一点P,使PA+PB的值最小”,取A点关于L的对称点A”,则有:
原式=PA+PB≥A”B
的最小值是5。

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标签: 数学 矩形 实数 (责任编辑:101教育小编)
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