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用三角形的面积桥求锐角三角函数值

来源:101教育网整理 2016-09-26 字体大小: 分享到:
一、利用三角形的面积桥求锐角三角函数值
例1 如图1,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点,求∠EAF的正切值。

图1
解:连结EF,作FG⊥AE,垂足为G
设正方形的边长为2,则BE=CE=CF=FD=1


中,由勾股定理,得

在△AEF中,


易证:△ABE≌△ADF,∴AF=AE=
在Rt△AFG中



评注:本例考查了勾股定理、全等三角形等知识,要求锐角三角函数值必须在直角三角形进行,通过添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形,为解决问题创造了有利条件,使所求问题化归为利用三角形面积桥来解决。
例2 如图2,AB是圆O的直径,CD⊥AB于P,若BP=2,CD=12,求cos∠CAD的值。

图2
解:∵AB是圆O的直径,AB⊥CD
∴点P是弦CD的中点
∴PD=PC=6
由相交弦定理,得
PA·PB=PD·PC=PD2

中,由勾股定理,得

易证:

过点D作DE⊥AC,垂足为E


中,

评注:本例考查了圆中的相交弦定理、垂径定理,还考查了勾股定理、全等三角形等知识,通过添加辅助线,构造直角三角形,利用三角形面积桥的特殊条件,提高了解题效率与为解决某些问题搭起了平台作用。
二、利用三角形的面积桥求点到直线的距离
例3 如图3,已知圆与圆外切于点C,AB是两圆的外公切线,A、B是切点,点A在圆上,点B在圆上。若AC、BC是关于x的方程的两个实数根,△ABC的周长为30,求点C到直线AB的距离。

图3
解:过点C作两圆的公切线交AB于点P,则AP=PC=PB

,即
∴△ABC是直角三角形。
设BC=a,AC=b,AB=c,根据题意及根与系数的关系,得

将①代入③,得
根据勾股定理,得

将①、②、④代入⑤,得

经整理,得
,解得


都能使原方程有实根。
时代入④,得
,不合题意,舍去。
时,代入④,得

∴当时,代入②,得

设点C到直线AB的距离为h

评注:本例由两圆外切来判断三角形的形状,将方程中的根与系数的关系和判别式,以及勾股定理,配方法、方程等知识点串联在一起,综合性较强,所考查的知识点颇多,涉及面广,拓宽了对相关知识点的考查;同时合理构建方程组模型,利用方程的知识和三角形的面积桥是解决问题的关键;利用整体求值法,避免了求边长,提高了解题速度,有利于培养学生将所学过的掌握的相关知识转化为解决实际问题的能力,核心是应用能力,本例形成了较好的考查知识链。
三、利用三角形的面积桥求三角形的内切圆面积
例4 在△ABC中,AC=4,BC=5,AB=6,求△ABC的内切圆面积。
解:如图4所示,过点A作AD⊥BC,设BD=x,CD=y,则

图4

中,由勾股定理,得



解①,②,得


设△ABC的内切圆半径为r,因为三角形的内切圆圆心到三边的距离相等。



的内切圆面积为(面积单位)。
评注:本例充分利用方程知识和三角形的面积桥,使所求问题无从下手,到“柳暗花明”,使所求问题迎刃而解。
四、利用三角形的面积桥解决其他问题
例5 在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,点P为BC边上的任一点(不与B、C重合),PE⊥AB,PF⊥AC,E、F为垂足,求3PE+4PF的值。
解:如图5过点B作BD⊥AC,垂足为D

图5


中,由勾股定理,得



解①,②,得


连结AP,则


评注:本例是2004年全国高考试题改编,在解题过程中,利用了方程思想,实现了几何代数化,由方程知识和三角形的面积桥,使解题思路清晰,解题方法跃然纸上,简洁明快,所以三角形的面积桥为提高解题质量和技巧提供了便捷通道。

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标签: 知识点 勾股定理 实数 实数根 (责任编辑:101教育小编)
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