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高一数学集合和函数

来源:101教育网整理 2017-02-14 字体大小: 分享到:

  高一数学集合和函数-知识点

  元素分析法因为集合中元素具有确定性、互异性、无序性,因此可以从元素特征、集合运算、特殊集合等三个方面进行元素分析,找到解题的突破口.1.利用元素特征分析例1集合M={y|y=x2-1,x∈R},集合N={x|y=3-x2,x∈R},则M∩N=()A.{(-2,1),(2,1)}B.{t|0≤t≤3}C.{t|-1≤t≤3}D.解析集合M中的元素是y,它表示函数y=x2-1的y的取值范围,从而M={y|y≥-1},即表示大于等于-1的所有实数.集合N中的元素是x,它表示函数y=3-x2中x的取值范围,从而N={x|-3≤x≤3},即表示在-3和3之间的所有实数.易得M∩N={t|-1≤t≤3}.因此,正确答案为C.评注同学们在求解此题时,常常会误认为是求两条曲线的交点.搞清楚集合中元素的特征,运用元素分析.

  高一数学集合和函数-例题

  1.已知函数f(x)=log3 1-m(x-2)/x-3 ,对定义域内的任意x都有f(2-x)+f(2+x)=0成立.

  (1)求实数m的值

  (2)当x∈(3,4)时,求f(x)的取值范围.

  答案:

  函数的定义域是1-m(x-2)>0

  f(2-x)=log3(1+mx)

  f(2+x)=log3(1-mx)

  log3(1+mx)+log3(1-mx)=log3(1-m^2x^2)=0

  1-m^2x^2=1

  m=0

  函数f(x)=0

  ,f(x)=0符合对定义域内的任意x都有f(2-x)+f(2+x)=0成立

  2.设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件:

  ①当x∈R时,f(x)的最小值为0,且f(x-1)=f(-x-1)成立;

  ②当x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立。

  (1)求f(1)的值;(2)求f(x)的解析式;

  (3)求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当x∈[1,m],就有f(x+t)≤x成立。

  答案:

  (1)∵当x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立

  ∴1≤f(1)≤1

  ∴f(1)=1;

  (2)∵当x∈R时,f(x)的最小值为0,且图象关于直线x=-1对称;

  ∴ -b/2a=-1,f(-1)=a-b+c=0

  又∵f(1)=a+b+c=1

  ∴ a=1/4,b=1/2,c=1/4

  ∴ f(x)=1/4(x+1)^2;

  (3)因f(x-4)=f(2-x),则函数的图象关于x=-1对称,∴ -b/2a=-1,b=2a,

  由(3),x=-1时,y=0,即a-b+c=0,由(1)得,f(1)≥1,由(2)得,f(1)≤1,

  则f(1)=1,即a+b+c=1.又a-b+c=0,则b= 1/2,a= 1/4,c= 1/4,故f(x)= 1/4x^2+ 1/2x+ 1/4.

  假设存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.

  取x=1,有f(t+1)≤1,即 1/4(t+1)^2+ 1/2(t+1)+ 1/4≤1,解得-4≤t≤0,

  对固定的t∈[-4,0],取x=m,有f(t+m)≤m,即 1/4(t+m)^2+ 1/2(t+m)+ 1/4≤m.

  化简有:m^2-2(1-t)m+(t^2+2t+1)≤0,解得1-t-根号下-4t≤m≤1-t+根号下-4t,

  故m≤1-t- 根号下-4t≤1-(-4)+根号下-4(-4)=9

  当t=-4时,对任意的x∈[1,9],

  恒有f(x-4)-x= 1/4(x^2-10x+9)= 1/4(x-1)(x-9)≤0.

  ∴m的最大值为9.

  3.已知函数f(x)=3sin(kx/5+π/3)(k>0,k∈z)有一条对称轴x=π/6,且在任意两个整数之间至少出现一次最大值和最小值,求k的最小取值。

  答案

  由题当x=π/6时,f(x)=±3

  即(k/5)*(π/6)+π/3=2mπ±π/2

  即k= 60m+5或k=60m-25 (m∈z)

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标签: 高一 知识点 数学 高一数学 函数 集合 (责任编辑:米露)
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