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高二数学知识点:勾股定理公式及定理讲解

来源:101教育网整理 2017-06-27 字体大小: 分享到:

  101教育网高考频道整理《高二数学知识点:勾股定理公式及定理讲解》,供高考考生参考,希望对考生有所帮助。
  一、经典证明方法细讲
  方法一:
  作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
  ∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
  ∴∠EGF=∠BED,
  ∵∠EGF+∠GEF=90°,
  ∴∠BED+∠GEF=90°,
  ∴∠BEG=180°―90°=90°
  又∵AB=BE=EG=GA=c,
  ∴ABEG是一个边长为c的正方形.
  ∴∠ABC+∠CBE=90°
  ∵RtΔABC≌RtΔEBD,
  ∴∠ABC=∠EBD.
  ∴∠EBD+∠CBE=90°
  即∠CBD=90°
  又∵∠BDE=90°,∠BCP=90°,
  BC=BD=a.
  ∴BDPC是一个边长为a的正方形.
  同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
  设多边形GHCBE的面积为S,则∴BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出:a^2+b^2=c^2
  方法二
  作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.
  分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
  ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
  ∴FI=a,
  ∴G,I,J在同一直线上,
  ∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
  ∠CJB=∠CFD=90°,
  ∴RtΔCJB≌RtΔCFD,
  同理,RtΔABG≌RtΔADE,
  ∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE
  ∴∠ABG=∠BCJ,
  ∵∠BCJ+∠CBJ=90°,
  ∴∠ABG+∠CBJ=90°,
  ∵∠ABC=90°,
  ∴G,B,I,J在同一直线上,
  所以a^2+b^2=c^2

  二、勾股数的相关介绍
  ①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。
  ②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。
  ③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。]在一个三角形中,两条边的平方和等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形。
  三、勾股定理的命题方向
  命题1:以已知线段为边,求作一等边三角形。
  命题2:求以已知点为端点,作一线段与已知线段相等。
  命题3:已知大小两线段,求在大线段上截取一线段与小线段相等。
  命题4:两三角形的两边及其夹角对应相等,则这两个三角形全等。
  命题5:等腰三角形两底角相等。  

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标签: 高二 数学 知识点 勾股定理 (责任编辑:米露)
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