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高一数学必修1指数函数

来源:101教育网整理 2017-07-20 字体大小: 分享到:

  指数函数是数学中重要的函数。应用到值 x 上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 ex,这里的 e 是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于2.718281828,还叫做欧拉数。指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ,函数图形下凹,a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

  一、指数函数简介

形如y= 1500258768297857.pnga>0a≠1)的函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R

  指数函数的图象与性质

image.png


a>1

0<a<1

 

image.png

image.png

 

定义域

R

值域

image.png


定点

过定点(01),即x=0时,y=1

函数值的变化规律

x<0时,0<y<1

x>0时,y>1

x<0时,y>1

x>0时,0<y<1

单调性

R上是增函数

R上是减函数

重要提示

指数函数的定义域、值域、定点、函数值的变化规律、单调性是解决与指数函数有关的复合函数性质的基础,尤其是单调性,它既是重点也是难点。

练习:如果指数函数image.pngR上的单调减函数,那么a的取值范围是____

思路分析:根据指数函数的单调性判断可得image.png

答案:1a2

  二、指数函数运算

  1.根式的概念

如果一个实数xn次方等于an1nN*),那么这个数叫做an次方根。即若xna,则x叫做an次方根,其中n1nN*。式子image.png叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数。

 2.根式的性质

①当n奇数时,正数n次方根是一个正数,负数n次方根是一个负数,这时,an次方根用符号image.png表示。

②当n偶数时,正数n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号-image.png表示.正负两个n次方根可以合写为±image.pnga0);负数没有偶次方根。

image.png

④当n奇数时,image.pnga

n偶数时,image.png|a|image.png

 3.  有理数指数幂

1)幂的有关概念

①正整数指数幂:image.png nN*)。

②零指数幂:a01a≠0)。

③负整数指数幂:ap=(a≠0pN*)。

④正分数指数幂:image.png a0mn N*,且n1)。

⑤负分数指数幂:image.pnga0mnN*,且n1)。


0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义。

2)有理数幂的运算性质

arasarsa0rsQ

②(arsarsa0rsQ

③(abrarbra0b0rQ

 4. 在指数运算中要注意以下几点:

1)分数指数幂与根式的关系。

2)根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算。

3)最后的计算结果中:

①若题目以根式形式给出,则结果用根式表示;

②若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示;

③结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又有负分数指数幂。

 

例题 计算下列各式:

image.png


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