寒假班课5折优惠

高一

101教育热线电话
400-6869-101
当前位置: 首页 > 高一> 高一数学> 高一数学知识点

高一数学无理不等式知识点

来源:101教育网整理 2017-07-30 字体大小: 分享到:

  高一数学无理不等式知识点(一)

  一、要点精析

  1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

  (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

  (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1。应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法。

  2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”。其逻辑关系为:AB1

  B2B3…BnB,即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

  3.分析法分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为:BB1B1B3…

  BnA,书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真。这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

  4.反证法有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法。

  5.换元法换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法:多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题,实施的三角代换方法有:①若x2+y2=1,可设x=cosθ,y=sinθ;②若x2+y2≤1,可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1);③对于含有的不等式,由于|x|≤1,可设x=cosθ;④若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知,可设x=taaA,y=tanB,z=tanC,其中A+B+C=π。(2)增量换元法:在对称式(任意交换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式,考虑用增量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简。如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元。

  6.放缩法放缩法是要证明不等式A

  二、难点突破

  1.在用商值比较法证明不等式时,要注意分母的正、负号,以确定不等号的方向。

  2.分析法与综合法是对立统一的两个方面,前者执果索因,利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握;后者是由因导果,宜于表述,因为它条理清晰,形式简洁,适合人们的思维习惯。但是,用分析法探求证明不等式,只是一种重要的探求方式,而不是一种好的书写形式,因为它叙述较繁,如果把“只需证明”等字眼不写,就成了错误。而用综合法书写的形式,它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时,分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式,难以入手时常用分析法探索证题的途径,之后用综合法形式写出它的证明过程,以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大,需一边分析,一边综合,实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点。

  3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”,也没有必要要求“步步可逆”,因为这时仅需寻找充分条件,而不是充要条件。如果非要“步步可逆”,则限制了分析法解决问题的范围,使得分析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时,一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。

  4.反证法证明不等式时,必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。

  5.在三角换元中,由于已知条件的限制作用,可能对引入的角有一定的限制,应引起高度重视,否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点,也是难点,且要注意整体思想的应用。

  6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度,即要恰当、适度,否则将达不到预期的目的,或得出错误的结论。另外,是分组分别放缩还是单个对应放缩,是部分放缩还是整体放缩,都要根据不等式的结构特点掌握清楚。

  高一数学不等式公式

  1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

  不等式的基本性质有:

  (1)对称性:a>bb

  (2)传递性:若a>b,b>c,则a>c;

  (3)可加性:a>ba+c>b+c;

  (4)可乘性:a>b,当c>0时,ac>bc;当c<0时,ac

  不等式运算性质:

  (1)同向相加:若a>b,c>d,则a+c>b+d;

  (2)异向相减:,.

  (3)正数同向相乘:若a>b>0,c>d>0,则ac>bd。

  (4)乘方法则:若a>b>0,n∈N+,则;

  (5)开方法则:若a>b>0,n∈N+,则;

  (6)倒数法则:若ab>0,a>b,则。

  2、基本不等式

  定理:如果,那么(当且仅当a=b时取“=”号)

  推论:如果,那么(当且仅当a=b时取“=”号)

  算术平均数;几何平均数;

  推广:若,则

  当且仅当a=b时取“=”号;

  3、绝对值不等式

  |x|0)的解集为:{x|-a

  |x|>a(a>0)的解集为:{x|x>a或x<-a}。  高一数学无理不等式知识点

上一篇:高一数学均匀随机数的产生知识点

下一篇:高一数学算法案例知识点

高一期末考前辅导
标签: 高一 高一数学 (责任编辑:Lily)
高一期末冲刺辅导
10秒填写领取秋季提升规划
姓名
手机号
年级
*图形验证码
获取验证码
提交