高一期中1对1冲刺辅导

高一

101教育热线电话
400-6869-101
当前位置: 首页 > 高一> 高一数学> 高一数学知识点

高中数学直线的倾斜角与斜率知识点总结

来源:101教育网整理 2017-08-01 字体大小: 分享到:

 
高中数学直线的倾斜角与斜率知识点总结(一)  
直线的倾斜角与斜率  
一、倾斜角和斜率  
1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.  
2、倾斜角α的取值范围:0°≤α<180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.  
3、直线的斜率:  
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα  
⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;  
⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.  
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.  
4、直线的斜率公式:  
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:  
斜率公式:k=y2-y1/x2-x1  
二、两条直线的平行与垂直  
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即  
注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2  
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,  
高中数学直线的倾斜角与斜率知识点总结(二)  
1.(2014•西安高一检测)直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角为()  
A.45°B.135°C.45°或135°D.-45°  
【解析】选B.直线l的斜率为k==-1,所以直线的倾斜角为钝角135°.  
2.设直线l与x轴的交点是P,且倾斜角为α,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为α+45°,则()  
A.0°≤α<180°B.0°≤α<135°  
C.0°<α≤135°D.0°<α<135°  
【解析】选D.直线l与x轴相交,可知α≠0°,  
又α与α+45°都是倾斜角,从而有  
得0°<α<135°.  
3.(2014•上饶高一检测)直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍,则l的斜率为()  
A.1B.C.D.-  
【解析】选B.因为tanα=,0°≤α<180°,所以α=30°,  
故2α=60°,所以k=tan60°=.故选B.  
4.(2014•新余高一检测)若A(3,-2),B(-9,4),C(x,0)三点共线,则x=()  
A.1B.-1C.0D.7  
【解析】选B.利用任意两点的斜率相等,kAB=-,kAC=,令=-得x=-1.  
【变式训练】已知三点A(1-a,-5),B(a,2a),C(0,-a)共线,则a=________.  
【解题指南】当三点共线时,若直线斜率存在,则kAB=kBC,若斜率不存在,则三点横坐标相同.  
【解析】①当过A,B,C三点的直线斜率不存在时,  
即1-a=a=0,无解.  
②当过A,B,C三点的直线斜率存在时,  
则kAB==kBC=,  
即=3,解得a=2.  
综上,A,B,C三点共线,a的值为2.  
答案:2  
【拓展延伸】揭秘三点共线问题  
斜率是用来反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,直线上任意两点所确定的直线方向不变,即在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等,这正是可利用斜率证明三点共线的原因,但是利用此方法要特别注意直线的斜率是否存在,如本题,若不考虑斜率是否存在,则解题步骤上出现了严重的遗漏,推理也不能算严谨,有时候还可能出现漏解现象.  
5.(2013•济南高一检测)直线l过定点C(0,-1),斜率为a且与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,则a的取值范围是()  
A.[-1,2]B.(-∞,-1]∪[2,+∞)  
C.[-2,1]D.(-∞,-2]∪[1,+∞)  
【解析】选B.直线l过定点C(0,-1).当直线l处在AC与BC之间时,必与线段AB相交,应满足a≥或a≤,即a≥2或a≤-1.  
6.(2014•济源高一检测)直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的斜率的取值范围是()  
A.[1,+∞)B.(-∞,+∞)  
C.(-∞,1)D.(-∞,1]  
【解析】选D.由于直线l经过点A(2,1),B(1,m2)(m∈R),根据两点的斜率公式可知:kAB==1-m2,  
因为m∈R,m2≥0,所以-m2≤0,即1-m2≤1,则有kAB≤1,  
所以直线l的斜率的取值范围是(-∞,1].  
二、填空题(每小题4分,共12分)  
7.(2014•扬州高一检测)若直线(a2+2a)x-y+1=0的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是________.  
【解析】因为直线(a2+2a)x-y+1=0的倾斜角为钝角,所以k=a2+2a<0,-2<a<0.  
答案:(-2,0)  
8.(2014•铜川高一检测)若直线的斜率为k,并且k=a2-1(a∈R),则直线的倾斜角α的范围是________.  
【解析】因为a2-1≥-1,即k≥-1.所以l的倾斜角α的范围是0°≤α<90°或135°≤α<180°.  
答案:0°≤α<90°或135°≤α<180°  
9.若三点A(3,3),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+=________.  
【解析】由于点A,B,C共线,则kAB=kAC,  
所以=.所以ab=3a+3b.即+=.  
答案:  
三、解答题(每小题10分,共20分)  
10.(2014•南昌高一检测)过两点M(a2+2,a2-3),B(3-a-a2,2a)的直线l的倾斜角为45°,求a的值.  
【解析】由题意得:直线l的斜率k=tan45°=1,  
故由斜率公式得k==1,  
解得a=-1(舍去)或a=-2.  
【变式训练】已知直线l的倾斜角为30°,且过点P(1,2)和Q(x,0),求该直线的斜率和x的值.  
【解析】该直线的斜率  
k=tan30°=.  
又l过点P(1,2)和Q(x,0),  
则=,解得x=1-2.  
11.从M(2,2)射出的一条光线,经x轴反射后过点N(-8,3),求反射点P的坐标.  
【解题指南】根据入射光线与反射光线之间的关系,找到直线MP与NP的斜率间的关系即可.  
【解析】如图.  
设P(x,0),因为入射角等于反射角,  
所以kMP=-kPN,即=,  
解得x=-2,  
所以反射点P(-2,0).  
一、选择题(每小题4分,共16分)  
1.关于直线的倾斜角与斜率,下列说法正确的是()  
A.所有的直线都有倾斜角和斜率  
B.所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率  
C.直线的倾斜角和斜率有时都不存在  
D.所有的直线都有斜率,但不一定有倾斜角  
【解析】选B.当直线的倾斜角为直角时,不存在斜率.但所有的直线都有倾斜角,故选B.  
2.(2014•商洛高一检测)已知直线l过A(-2,(t+)2),B(2,(t-)2)两点,则此直线的斜率和倾斜角分别为()  
A.1,135°B.-1,-45°  
C.-1,135°D.1,45°  
【解析】选C.因为k==-1,所以直线的倾斜角是钝角,又tan45°=1,所以直线的倾斜角为180°-45°=135°.  
3.(2014•西安高一检测)直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的范围是()  
A.0°≤α≤45°B.90°<α<180°  
C.45°≤α<90°D.90°<α≤135°  
【解析】选C.直线l的斜率k=tanα==m2+1≥1,所以45°≤α<90°.  
【变式训练】若ab<0,则过点P(0,-)与Q(,0)的直线PQ的倾斜角α的取值范围是________.  
【解析】因为kPQ==,又因为ab<0,所以kPQ<0.所以α为钝角,即90°<α<  
180°.  
答案:90°<α<180°  
4.将直线l向右平移4个单位,再向下平移5个单位后仍回到原来的位置,则此直线的斜率为()  
A.B.C.-D.-  
【解析】选C.设点P(a,b)是直线l上的任意一点,当直线l按题中要求平移后,点P也做同样的平移,平移后的坐标为(a+4,b-5),由题意知这两点都在直线l上,所以直线l的斜率k==-.  
二、填空题(每小题5分,共10分)  
5.(2014•南昌高一检测)若直线l与直线y=1,x=7分别交于P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为__________.  
【解析】设P(xP,yP),由题意及中点坐标公式得xP+7=2,解得xP=-5,即P(-5,1),所以k=-.  
答案:-  
【变式训练】三点A(0,2),B(2,5),C(3,b)能作为三角形的三个顶点,则实数b满足的条件是________.  
【解析】由题意得kAB≠kAC,则≠,整理得b≠.  
答案:b≠  
6.已知直线l的倾斜角为α=45°,点P1(2,m),P2(n,5),P3(3,1)在直线l上,则m=________,n=________.  
【解题指南】条件中直线的倾斜角已知,可以考虑倾斜角与斜率的关系构造方程求解.  
【解析】因为α=45°,所以直线的斜率k=1,  
又点P1(2,m),P2(n,5),P3(3,1)在直线l上,  
所以==1,即==1,  
解得m=0,n=7.  
答案:07  
三、解答题(每小题12分,共24分)  
7.(2014•临沂高一检测)a为何值时,过点A(2a,3),B(2,-1)的直线的倾斜角是锐角?钝角?直角?  
【解题指南】根据倾斜角与斜率的关系解决本题.若直线的倾斜角是锐角,则k>0,若为钝角,则k<0,若为直角,则斜率不存在.  
【解析】当过点A,B的直线的倾斜角是锐角时,kAB>0,根据斜率公式得kAB==>0,  
所以a>1;  
同理,当倾斜角为钝角时,kAB<0,即<0,  
所以a<1.  
当倾斜角为直角时,A,B两点的横坐标相等,即2a=2,所以a=1.  
8.设直线l过点A(7,12),B(m,13),求直线l的斜率k及倾斜角α的范围.  
【解题指南】根据斜率公式求出斜率的范围,然后根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围,注意斜率公式应用的前提条件.  
【解析】(1)当m=7时,直线l与x轴垂直,斜率不存在,倾斜角为90°.  
(2)当m≠7时,k==.  
当m>7时,>0,即k>0,0°<α<90°;  
当m<7时,<0,即k<0,90°<α<180°.  
【变式训练】已知A(2,4),B(3,3),点P(a,b)是线段AB(包括端点)上的动点,试结合斜率公式k=(x2≠x1).求的取值范围.  
【解析】设k=,则k可以看成点P(a,b)与定点Q(1,1)连线的斜率.如图,当P在线段AB上由B点运动到A点时,PQ的斜率由kBQ增大到kAQ,  
因为kBQ==1,kAQ==3,  
所以1≤k≤3,即的取值范围是[1,3].  
【拓展延伸】巧用斜率公式的几何意义解题  
由于斜率公式k=(x2≠x1)具有把几何问题代数化的功能,因此在解答过程中,可首先借助斜率公式的几何意义画出草图,然后利用斜率与倾斜角的关系,找出其边界.求解过程充分体现了数与形的完美结合,渗透了解析几何的思想.

上一篇:高中数学简单随机抽样知识点总结

下一篇:高中数学比较法知识点总结

名师测评 限额免费

  • 刘叶

    高二化学 5.0

    高级教师,2000年毕业于河北师范大学化学系,自毕业以来一直担任班主任及高中化学教学工作,在工作期间,所教班级在高考中多次取得市前三名的好成绩,被评为市级模范教师,市级化学学科带头人等称号。

  • 王明明

    高三数学 5.0

    101学酷名师,9年高中数学教学经验,总结出一套快速提升学习成绩的方法以及答题的技巧。将教学与故事结合,让学生举一反三,上课能听懂,考试不用愁

  • 于长富

    高三语文 5.0

    从教30余年,教学经验丰富。1985年--2000年,山东威海重点中学历史教师;2000--2010北京重点中学;2010--至今崛起中学。教学风格严谨,教学内容实用,使学生受益匪浅。

  • 周于

    高三英语 5.0

    高级教师,被评为市级模范教师,市级英语学科带头人等称号;网络教学6年,有丰富的网络教学经验。教学风格幽默风趣、激情而有耐心,深受各位家长和学生的喜爱,我愿付出我的一切,为孩子们在学习上排忧解难。

  • 龚新明

    高三物理 5.0

    中学一级教师,湖北省黄冈市优秀教师,2006年生物科学专业(师范类)本科毕业,2009年生物学硕士毕业,获理学硕士学位。曾辅导学生参加全国生物竞赛获一等奖。所教多届高三毕业班成绩突出,多次被评为黄冈市优秀教育工作者。

  • 程建辉

    高三化学 5.0

    化学专业硕士,中学一级教师,省示范高中化学名师,多次参加高考阅卷工作,辅导学生参加全国化学竞赛赛,并获得指导老师优秀奖。从教十多年来形成了自己独特完整的化学教学方法,使他们在化学的学习思路和成绩上有很大的提高。

姓名
手机
验证码
获取验证码
您的需求
在线预约
立即申请
高一期末考前辅导
标签: 高一 数学 (责任编辑:Lily)
高一期中特训营 免费入营
10秒填写领取秋季高分规划
姓名
手机号
年级
*图形验证码
获取验证码
提交