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高中数学不等式证明知识点

来源:101教育网整理 2017-08-01 字体大小: 分享到:

  高中数学不等式证明知识点

  一、知识点

  1.不等式性质比较大小方法:

  (1)作差比较法(2)作商比较法

  不等式的基本性质

  ①对称性:a>bb>a

  ②传递性:a>b,b>ca>c

  ③可加性:a>ba+c>b+c

  ④可积性:a>b,c>0ac>bc

  ⑤加法法则:a>b,c>da+c>b+d

  ⑥乘法法则:a>b>0,c>d>0ac>bd

  ⑦乘方法则:a>b>0,an>bn(n∈N)

  ⑧开方法则:a>b>0

  2.算术平均数与几何平均数定理:

  (1)如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号)

  (2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广:

  如果为实数,则重要结论

  (1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;

  (2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,和xy有最大值S2/4。

  3.证明不等式的常用方法:

  比较法:比较法是最基本、最重要的方法。

  当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式,则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小,

  则选择作商比较法;碰到绝对值或根式,我们还可以考虑作平方差。

  综合法:从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。

  分析法:不等式两边的联系不够清楚,通过寻找不等式成立的充分条件,逐步将欲证的不等式转化,直到寻找到易证或已知成立的结论。

  4.不等式的解法

  (1)不等式的有关概念同解不等式:两个不等式如果解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做同解变形。提问:请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项

  (2)不等式ax>b的解法①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};②当a<0时不等式的解集是{x|x<b/a};③当a=0时,b<0,其解集是R;b0,其解集是ф。

  (3)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

  (4)绝对值不等式|x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a},几何表示为:a|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a},几何表示为:oo-a0a小结:解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想,分类讨论)转化为不含绝对值的不等式,

  通常有下列三种解题思路:

  (1)定义法:利用绝对值的意义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;

  (2)公式法:|f(x)|>af(x)>a或f(x)<-a;|f(x)|<a-a<f(x)<a;

  (3)平方法:|f(x)|>a(a>0)f2(x)>a2;|f(x)|<a(a>0)f2(x)<a2;

  (4)几何意义

  (5)分式不等式的解法

  (6)一元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正),然后分解因式,再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来,从右边入手画线,最后根据曲线写出不等式的解。

  (7)含有绝对值的不等式定理:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|?|a|-|b|≤|a+b|中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立?|a+b|≤|a|+|b|中当且仅当ab≥0等号成立推论1:|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|推广:|a1+a2+...+an|≤|a1|+|a2|+...+|an|推论2:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

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标签: 数学 高一数学 (责任编辑:Lily)
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