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高中数学不等式证明知识点

来源:101教育网整理 2017-08-01 字体大小: 分享到:

不等式公式  
如果a,b是正数,那么(a+b)/2≥(根号下ab),当且仅当a=b时,等号成立,我们称上述不等式为基本不等式。  
若a,b∈R,则a平方+b平方≥2ab或ab≤(a平方+b平方)/2.  
若a,b∈R,则(a平方+b平方)/2≥[(a+b)/2]的平方  
若a,b∈R※,则a+b>=2(根号ab)或ab≤[(a+b)/2]的平方  
不等式证明知识概要  
不等式的证明问题,由于题型多变、方法多样、技巧性强,加上无固定的规律可循,往往不是用一种方法就能解决的,它是多种方法的灵活运用,也是各种思想方法的集中体现,因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式,灵活运用常用的证明方法。  
一、要点精析  
1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。  
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。  
(2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1。应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法。  
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”。其逻辑关系为:AB1  
B2B3…BnB,即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。  
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为:BB1B1  
B3…  
BnA,书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真。这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。  
4.反证法有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法。  
5.换元法换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法:多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题,实施的三角代换方法有:①若x2+y2=1,可设x=cosθ,y=sinθ;②若x2+y2≤1,可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1);③对于含有的不等式,由于|x|≤1,可设x=cosθ;④若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知,可设x=taaA,y=tanB,z=tanC,其中A+B+C=π。(2)增量换元法:在对称式(任意交换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式,考虑用增量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简。如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元。  
6.放缩法放缩法是要证明不等式A  
二、难点突破  
1.在用商值比较法证明不等式时,要注意分母的正、负号,以确定不等号的方向。  
2.分析法与综合法是对立统一的两个方面,前者执果索因,利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握;后者是由因导果,宜于表述,因为它条理清晰,形式简洁,适合人们的思维习惯。但是,用分析法探求证明不等式,只是一种重要的探求方式,而不是一种好的书写形式,因为它叙述较繁,如果把“只需证明”等字眼不写,就成了错误。而用综合法书写的形式,它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时,分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式,难以入手时常用分析法探索证题的途径,之后用综合法形式写出它的证明过程,以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大,需一边分析,一边综合,实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点。  
3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”,也没有必要要求“步步可逆”,因为这时仅需寻找充分条件,而不是充要条件。如果非要“步步可逆”,则限制了分析法解决问题的范围,使得分析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时,一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。  
4.反证法证明不等式时,必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。  
5.在三角换元中,由于已知条件的限制作用,可能对引入的角有一定的限制,应引起高度重视,否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点,也是难点,且要注意整体思想的应用。  
6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度,即要恰当、适度,否则将达不到预期的目的,或得出错误的结论。另外,是分组分别放缩还是单个对应放缩,是部分放缩还是整体放缩,都要根据不等式的结构特点掌握清楚。  
1、比较法(作差法)  
在比较两个实数和的大小时,可借助  
的符号来判断。步骤一般为:作差——变形——判断(正号、负号、零)。变形时常用的方法有:配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。  
例1、已知:,,求证:。  
证明:,故得。  
2、分析法(逆推法)  
从要证明的结论出发,一步一步地推导,最后达到命题的已知条件(可明显成立的不等式、已知不等式等),其每一步的推导过程都必须可逆。  
例2、求证:。  
证明:要证,即证,即,,,,,由此逆推即得。  
3、综合法  
证题时,从已知条件入手,经过逐步的逻辑推导,运用已知的定义、定理、公式等,最终达到要证结论,这是一种常用的方法。  
例3、已知:,同号,求证:。  
证明:因为,同号,所以,,则,即。  
4、作商法(作比法)  
在证题时,一般在,均为正数时,借助或来判断其大小,步骤一般为:作商——变形——判断(大于1或小于1)。  
例4、设,求证:。  
证明:因为,所以,。而,故。  
5、反证法  
先假设要证明的结论不对,由此经过合理的逻辑推导得出矛盾,从而否定假设,导出结论的正确性,达到证题的目的。  
例5、已知,是大于1的整数,求证:。  
证明:假设,则,即,故,这与已知矛盾,所以。  
6、迭合法(降元法)  
把所要证明的结论先分解为几个较简单部分,分别证明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性质,使原不等式获证。  
例6、已知:,,求证:。  
证明:因为,,  
所以,。  
由柯西不等式  
,所以原不等式获证。  
7、放缩法(增减法、加强不等式法)  
在证题过程中,根据不等式的传递性,常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大),或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数,或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母),从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当,不要过头。常用方法为:改变分子(分母)放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。  
例7、求证:。  
证明:令,则  
,  
所以。  
8、数学归纳法  
对于含有的不等式,当取第一个值时不等式成立,如果使不等式在时成立的假设下,还能证明不等式在时也成立,那么肯定这个不等式对  
取第一个值以后的自然数都能成立。  
例8、已知:,,,求证:。  
证明:(1)当时,,不等式成立;  
(2)若时,成立,则  
=,  
即成立。  
根据(1)、(2),对于大于1的自然数都成立。  
9、换元法  
在证题过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明达到简化。  
例9、已知:,求证:。  
证明:设,,则,  
(因为,),所以。  
10、三角代换法  
借助三角变换,在证题中可使某些问题变易。  
例10、已知:,,求证:。  
证明:设,则;设,则所以。

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标签: 高一 数学 (责任编辑:Lily)
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