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高中数学基本不等式知识点

来源:101教育网整理 2017-08-01 字体大小: 分享到:

  高中数学基本不等式知识点

  1.不等式的定义:a-b>0a>b,a-b=0a=b,a-b<0a

  ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。

  ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

  作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。

  如证明y=x3为单增函数,

  设x1,x2∈(-∞,+∞),x1+x22]

  再由(x1+)2+x22>0,x1-x2<0,可得f(x1)

  2.不等式的性质:

  ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

  不等式基本性质有:

  (1)a>bb

  (2)a>b,b>ca>c(传递性)

  (3)a>ba+c>b+c(c∈R)

  (4)c>0时,a>bac>bc

  c<0时,a>bac

  运算性质有:

  (1)a>b,c>da+c>b+d。

  (2)a>b>0,c>d>0ac>bd。

  (3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。

  (4)a>b>0>(n∈N,n>1)。

  应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。

  ②关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题:

  (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。

  (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。

  (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

  利用基本不等式求函数的最值时,关键在于将函数变形为两项和或积的形式,然后用基本不等式求出最值。条件最值的求解通常有两种方法,一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解。二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值。在利用基本不等式求解最值时,要尽量避免多次利用其求最值,否则就必须检验各个等号成立的条件是否一致。

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