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高一数学必修一函数及其表示

来源:101教育网整理 2017-08-01 字体大小: 分享到:

  高一数学必修一函数

  1.函数的奇偶性

  (1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);

  (2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);

  (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

  (4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;

  (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

  2.复合函数的有关问题

  (1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

  (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

  3.函数图像(或方程曲线的对称性)

  (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

  (2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;

  (3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

  (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;

  (5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

  (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;

  4.函数的周期性

  (1)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

  (2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

  (3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

  (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;

  (5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;

  (6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)是周期为2的周期函数;

  5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);

  6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

  7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

  (3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

  8.判断对应是否为映射时,抓住两点:(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

  9.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。

  10.对于反函数,应掌握以下一些结论:(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).

  11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

  12.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

  13.恒成立问题的处理方法:(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;

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