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高一数学函数的概念

来源:101教育网整理 2017-08-01 字体大小: 分享到:

  高一数学函数的概念

  1、函数:设A、B为非空集合,如果按照某个特定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,写作y=f(x),x∈A,其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合B={f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。

  ★2、函数定义域的解题思路:

  ⑴若x处于分母位置,则分母x不能为0。

  ⑵偶次方根的被开方数不小于0。

  ⑶对数式的真数必须大于0。

  ⑷指数对数式的底,不得为1,且必须大于0。

  ⑸指数为0时,底数不得为0。

  ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么,它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。

  ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

  3、相同函数

  ⑴表达式相同:与表示自变量和函数值的字母无关。

  ⑵定义域一致,对应法则一致。

  4、函数值域的求法

  ⑴观察法:适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。

  ⑵图像法:适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

  ⑶配方法:主要用于二次函数,配方成y=(x-a)2+b的形式。

  ⑷代换法:主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。

  5、函数图像的变换

  ⑴平移变换:在x轴上的变换在x上就行加减,在y轴上的变换在y上进行加减。

  ⑵伸缩变换:在x前加上系数。

  ⑶对称变换:高中阶段不作要求。

  6、映射:设A、B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于A中的任意仪的元素x,在集合B中都有唯一的确定的y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的映射。

  ⑴集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的。

  ⑵集合A中的不同元素,在集合B中对应的象可以是同一个。

  ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

  7、分段函数

  ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。

  ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。

  ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集。

  8、复合函数:如果(u∈M),u=g(x)(x∈A),则,y=f[g(x)]=F(x)(x∈A),称为f、g的复合函数。

  ★五、函数的性质

  1、函数的局部性质——单调性

  设函数y=f(x)的定义域为I,如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么y=f(x)在区间D上是增函数,D是函数y=f(x)的单调递增区间;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么那么y=f(x)在区间D上是减函数,D是函数y=f(x)的单调递减区间。

  ⑴函数区间单调性的判断思路

  ⅰ在给出区间内任取x1、x2,则x1、x2∈D,且x1<x2。

  ⅱ做差值f(x1)-f(x2),并进行变形和配方,变为易于判断正负的形式。

  ⅲ判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号,指出单调性。

  ⑵复合函数的单调性

  复合函数y=f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律为“同增异减”;多个函数的复合函数,根据原则“减偶则增,减奇则减”。

  ⑶注意事项

  函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集,如果函数在区间A和B上都递增,则表示为f(x)的单调递增区间为A和B,不能表示为A∪B。

  2、函数的整体性质——奇偶性

  对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x),则f(x)就为偶函数;

  对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x)=-f(x),则f(x)就为奇函数。

  ⑴奇函数和偶函数的性质

  ⅰ无论函数是奇函数还是偶函数,只要函数具有奇偶性,该函数的定义域一定关于原点对称。

  ⅱ奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。

  ⑵函数奇偶性判断思路

  ⅰ先确定函数的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则为非奇非偶函数。

  ⅱ确定f(x)和f(-x)的关系:

  若f(x)-f(-x)=0,或f(x)/f(-x)=1,则函数为偶函数;

  若f(x)+f(-x)=0,或f(x)/f(-x)=-1,则函数为奇函数。

  3、函数的最值问题

  ⑴对于二次函数,利用配方法,将函数化为y=(x-a)2+b的形式,得出函数的最大值或最小值。

  ⑵对于易于画出函数图像的函数,画出图像,从图像中观察最值。

  ⑶关于二次函数在闭区间的最值问题

  ⅰ判断二次函数的顶点是否在所求区间内,若在区间内,则接ⅱ,若不在区间内,则接ⅲ。

  ⅱ若二次函数的顶点在所求区间内,则在二次函数y=ax2+bx+c中,a>0时,顶点为最小值,a<0时顶点为最大值;后判断区间的两端点距离顶点的远近,离顶点远的端点的函数值,即为a>0时的最大值或a<0时的最小值。

  ⅲ若二次函数的顶点不在所求区间内,则判断函数在该区间的单调性

  若函数在[a,b]上递增,则最小值为f(a),最大值为f(b);

  若函数在[a,b]上递减,则最小值为f(b),最大值为f(a)。

  六、基本初等函数

  1、指数函数:函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数

  a的取值    a>1    0<a<1

  图

  像        

  定义域    x∈R    x∈R

  值域    y∈(0,+∞)    y∈(0,+∞)

  单调性    全定义域单调递增    全定义域单调递减

  奇偶性    非奇非偶函数    非奇非偶函数

  过定点    (0,1)    (0,1)

  注意:⑴由函数的单调性可以看出,在闭区间[a,b]上,指数函数的最值为:

  a>1时,最小值f(a),最大值f(b);0<a<1时,最小值f(b),最大值f(a)。

  ⑵对于任意指数函数y=ax(a>0且a≠1),都有f(1)=a。

  2、对数函数:函数y=logax(a>0且a≠1)),叫做对数函数

  a的取值    a>1    0<a<1

  图像        

  定义域    x∈(0,+∞)    x∈(0,+∞)

  值域    y∈R    y∈R

  单调性    全定义域单调递    全定义域单调递减

  奇偶性    非奇非偶函数    非奇非偶函数

  过定点    (1,0)    (1,0)

  3、幂函数:函数y=xa(a∈R),高中阶段,幂函数只研究第I象限的情况。

  ⑴所有幂函数都在(0,+∞)区间内有定义,而且过定点(1,1)。

  ⑵a>0时,幂函数图像过原点,且在(0,+∞)区间为增函数,a越大,图像坡度越大。

  ⑶a<0时,幂函数在(0,+∞)区间为减函数。

  当x从右侧无限接近原点时,图像无限接近y轴正半轴;

  当y无限接近正无穷时,图像无限接近x轴正半轴。

  幂函数总图见下页。

  4、反函数:将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。

  反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。

  幂函数总图

  

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标签: 高一 数学 (责任编辑:Lily)
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