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高一数学集合知识点总结

来源:101教育网整理 2017-08-01 字体大小: 分享到:

  高一数学集合知识点总结

  一.知识归纳:

  1.集合的有关概念。

  1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

  注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。

  ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

  ③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

  2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法

  3)集合的分类:有限集,无限集,空集。

  4)常用数集:N,Z,Q,R,N*

  2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

  1)子集:若对x∈A都有x∈B,则AB(或AB);

  2)真子集:AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或,且)

  3)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}

  4)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}

  5)补集:CUA={x|xA但x∈U}

  注意:①?A,若A≠?,则?A;

  ②若,,则;

  ③若且,则A=B(等集)

  3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。

  4.有关子集的几个等价关系

  ①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

  ④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

  5.交、并集运算的性质

  ①A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A;

  ③Cu(A∪B)=CuA∩CuB,Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

  6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。

  二.例题讲解:

  【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z},则M,N,P满足关系

  A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

  分析一:从判断元素的共性与区别入手。

  解答一:对于集合M:{x|x=,m∈Z};对于集合N:{x|x=,n∈Z}

  对于集合P:{x|x=,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以MN=P,故选B。

  分析二:简单列举集合中的元素。

  解答二:M={…,,…},N={…,,,,…},P={…,,,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。

  =∈N,∈N,∴MN,又=M,∴MN,

  =P,∴NP又∈N,∴PN,故P=N,所以选B。

  点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。

  变式:设集合,,则(B)

  A.M=NB.MNC.NMD.

  解:

  当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B

  【例2】定义集合A*B={x|x∈A且xB},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为

  A)1B)2C)3D)4

  分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。

  解答:∵A*B={x|x∈A且xB},∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。

  变式1:已知非空集合M{1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为

  A)5个B)6个C)7个D)8个

  变式2:已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

  解:由已知,集合中必须含有元素a,b.

  集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

  评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有个.

  【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

  解答:∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

  ∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A

  ∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,

  ∴∴

  变式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.

  解:∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

  ∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

  又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

  ∴b=-4,c=4,m=-5

  【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足:A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1

  分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。

  解答:A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B,而(-∞,-2)∩B=ф。

  综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

  变式1:若A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)

  点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。

  变式2:设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。

  解答:M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

  ①当时,ax-1=0无解,∴a=0②

  综①②得:所求集合为{-1,0,}

  【例5】已知集合,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。

  分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解,再利用参数分离求解。

  解答:(1)若,在内有有解

  令当时,

  所以a>-4,所以a的取值范围是

  变式:若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。

  解答:

  点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

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