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高二数学趣味学习:整数与偶数哪一种数多?

来源:101教育网整理 2017-09-05 字体大小: 分享到:

  整数与偶数,哪一种数多?欲知答案,请看下文。

  如果我问你:“整数与偶数,哪一种数多?”恐怕不少同学都会说:“当然整数比偶数多了。”进一步,恐怕还会有同学告诉我:“偶数的个数等于整数个数的一半!”

  什么道理呢?那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相间排列的,所以奇数与偶数一样多,它们都是整数的一半。”

  “整数包括偶数,偶数是整数的一部分,全量大于部分,整数比偶数多这不是显而易见、再明白不过的事吗?”

  你认为这样回答有道理吗?

  这真是不成问题的问题!可是,且慢,往往就在这种最不成问题的问题上出了问题。比如,我们要比较两个班级的人数的多少,该怎么办呢?通常有两种办法:

  1.分别数出这两个班的人数,然后比较两个班人数的多少。

  2.让两个班同学分别排成一路纵队,让两班排第一的两人牵起手来,排第二的两人也牵起手来,…,以后的同学依次对应牵起手来。最后,如果某班所有的同学都与另一班的同学牵起了手,而另一班还有同学未与某班同学牵手,则某班同学比另一班人数少。

  现在我们再来看整数与偶数的多少问题吧!

  1.你能数出整数有多少个?偶数有多少个来吗?由于整数与偶数都有无穷多个,当然我们都不能数出它们的个数。

  所以,用第一种办法来比较整数与偶数的多少是行不通的。

  现在来考虑第二种办法,我们可以把整数排成一队:

  0,-1,1,-2,2,-3,3,…,-n,n,…。

  然后再把偶数也排成一队:

  0,-2,2,-4,4,-6,6,…,-2n,2n,…。

  这样排好之后,所有的整数都排进了第一队中,所有的偶数都排进第二队中。现在让第一队中的0与第二队中的0“牵起手”来(即对应起来),第一队中的-1与第二队中的-2对应;第一队中的1与第二队中的2对应;……,第一队中的-n与第二队中的-2n对应;第一队中的n与第二队中的2n对应,……你看,这么一个对一个地“牵好手”(即建立起“一一对应关系”之后),我们马上可以发现,第一队中的每个数都与第二队中的某个数对应,而第二队的每个数都与第一队的某个数对应,两个队伍都没有任何一数剩下来,既然如此,你能说整数比偶数多吗?看来不能。这就是说:整数与偶数同样多!

  这真似乎有悖常理了,部分竟然等于全体!但这确是事实!这告诉我们,“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的,许多对“有限”成立的性质对“无穷”却未必成立。

  著名的数学家康托(Cantor,1829-1920)首先想通了这个问题。著名数学家希尔伯特则讲了下面一个例子:

  一家旅馆有无穷多间房间。某天,所有房间都客满了,这时又来了一位旅客,“没问题!”老板说,他马上请一号房的客人移到二号房,二号房的客人移至三号房,三号房的客人移至四号房,等等。由于房间有无限多,自然所有的老客总有房住而新客也都住进去了。

  而如果有无穷多位客人来怎么办呢?老板只要请一号房的客人移到二号房,二号房的客人移至四号房,三号房的客人移至六号房,等等,这时,所有单号房间都腾出来让新来的无穷多位客人住进去了。

  按照康托建立的法则(即建立起“一一对应关系”),我们可以比较任何两个无穷集合的数目的多少,而且可以得出许多惊人的结论。这里就不一一列举这些奇妙的结论了。

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标签: 高二数学 数学 (责任编辑:Lily)
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