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高中数学演绎推理知识点总结

来源:101教育网整理 2017-09-07 字体大小: 分享到:

  高中数学演绎推理知识点总结

  《推理与证明》知识归纳总结

  归纳推理合情推理推理类比推理推演绎推理理与综合法证明直接证明分析法证明数学归纳

  间接证明反证法第一部分合情推理

  学习目标:

  了解合情推理的含义(易混点)

  理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点)了解合情推理在数学发展中的作用(难点)一、知识归纳:

  合情推理可分为归纳推理和类比推理两类:归纳推理:

  1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.2.归纳推理的一般步骤:

  第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质;

  第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想).思考探究:

  1.归纳推理的结论一定正确吗?

  2.统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理?

  题型1用归纳推理发现规律

  1、观察:715211;5.516.5211;33193211;.对于任意正实数a,b,试写出使ab211成立的一个条件可以是____.点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故ab222、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以

  f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f(4)=_____;f(n)=___________.【解题思路】找出f(n)f(n1)的关系式

  [解析]f(1)1,f(2)16,f(3)1612,f(4)16121837

  f(n)1612186(n1)3n23n1

  总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

  类比推理

  1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.2.类比推理的一般步骤:

  第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;

  第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想.思考探究:

  1.类比推理的结论能作为定理应用吗?

  2.(1)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体?

  (2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?

  题型2用类比推理猜想新的命题[例]已知正三角形内切圆的半径是高的______.

  【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法,即S等体积法,V1,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是3111ah3arrh,类比问题的解法应为2231111Sh4Srrh即正四面体的内切球的半径是高3344总结:(1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比

  (2)类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比;实数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等

  合情推理

  1.定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.简言之,合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的过程:从具体问题出→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想发思考探究:

  1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?

  1)归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。

  2)类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。

  第二部分演绎推理

  学习目标:

  理解演绎推理的含义(重点)

  掌握演绎推理的模式,会利用三段论进行简单推理(重点、难点)合情推理与演绎推理之间的区别与联系一、知识归纳:演绎推理的含义:

  1.演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论.演绎推理又叫逻辑推理.2.演绎推理的特点是由一般到特殊的推理.思考探究:

  演绎推理的结论一定正确吗?

  演绎推理的模式

  1.演绎推理的模式采用“三段论”:(1)大前提已知的一般原理(M是P);(2)小前提所研究的特殊情况(S是M);

  (3)结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断(S是P).2.从集合的角度看演绎推理:(1)大前提:x∈M且x具有性质P;(2)小前提:y∈S且SM

  (3)结论:y具有性质P.演绎推理与合情推理

  合情推理与演绎推理的关系:

  (1)从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特说的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理.

  (2)从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.

  第三部分直接证明与间接证明

  学习目标:

  1、了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。

  2、了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。知识归纳:三种证明方法:

  综合法、分析法、反证法

  分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛。

  反证法:它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤:(1)假设命题的结论不成立;

  (2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立

  (4)肯定原命题的结论成立

  用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。

  重难点:在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中,选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点1综合法

  在锐角三角形ABC中,求证:sinAsinBsinCcosAcosBcosC[解析]ABC为锐角三角形,AB2A2B,

  ysinx在(0,)上是增函数,sinAsin(B)cosB

  22同理可得sinBcosC,sinCcosA

  sinAsinBsinCcosAcosBcosC

  考点2分析法

  已知ab0,求证abab

  [解析]要证abab,只需证(ab)2(ab)2即ab2abab,只需证bab,即证ba显然ba成立,因此abab成立

  总结:注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”,而不是“因为---所以---”考点3反证法已知f(x)axx2(a1),证明方程f(x)0没有负数根x1x02x01【解题思路】“正难则反”,选择反证法,因涉及方程的根,可从范围方面寻找矛盾[解析]假设x0是f(x)0的负数根,则x00且x01且ax00ax0101x021,解得x02,这与x00矛盾,

  2x01故方程f(x)0没有负数根

  总结:否定性命题从正面突破往往比较困难,故用反证法比较多第四部分数学归纳法

  学习目标:

  1.了解数学归纳法的原理,理解数学归纳法的一般步骤。2.掌握数学归纳法证明问题的方法,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题

  3.能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。知识归纳:数学归纳法的定义:

  一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:

  (1)证明当n=n0时命题成立;

  (2)假设当n=k(∈+,且≥0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.

  在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.

  1.数学归纳法的本质:

  无穷的归纳→有限的演绎(递推关系)

  2.数学归纳法步骤:

  (1)(递推奠基):当n取第一个值n0结论正确;(2)(递推归纳):假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确;(归纳假设)

  证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)

  由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。

  [例1]已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k2且为偶数)时命题为真,,则还需证明()

  A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2(k+2)时命题成立

  [解析]因n是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k的下一个偶数是k+2,故选B总结:用数学归纳法证明时,要注意观察几个方面:(1)n的范围以及递推的起点(2)观察首末两项的次数(或其它),确定n=k时命题的形式f(k)(3)从f(k1)和f(k)的差异,寻找由k到k+1递推中,左边要加(乘)上的式子

  例2、用数学归纳法证明不等式1223n(n1)1(n1)2

  2[解析](1)当n=1时,左=2,右=2,不等式成立

  123k(k1)(k1)2

  212则1223k(k1)(k1)(k2)(k1)(k1)(k2)

  2(2)假设当n=k时等式成立,即121(k2)2(k1)(k2)2(k1)(k1)(k2)(k1)(k2)0211223k(k1)(k1)(k2)[(k1)1]2

  2当n=k+1时,不等式也成立

  综合(1)(2),等式对所有正整数都成立

  总结:(1)数学归纳法证明命题,格式严谨,必须严格按步骤进行;(2)归纳递推是证明的难点,应看准“目标”进行变形;

  (3)由k推导到k+1时,有时可以“套”用其它证明方法,如:比较法、分析法等,表现出数学归纳法“灵活”的一面

  扩展阅读:新课标高中数学知识点归纳总结

  高中数学必修+选修知识点归纳

  新课标人教A版

  引言

  1.课程内容:

  必修课程由5个模块组成:

  必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、

  对、幂函数)

  必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、

  三角恒等变换。

  必修5:解三角形、数列、不等式。

  以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。

  此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

  选修课程有4个系列:系列1:由2个模块组成。

  选修11:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、

  导数及其应用。

  选修12:统计案例、推理与证明、数系的扩

  充与复数、框图

  系列2:由3个模块组成。

  选修21:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、

  空间向量与立体几何。

  选修22:导数及其应用,推理与证明、数系

  的扩充与复数

  选修23:计数原理、随机变量及其分布列,

  统计案例。

  系列3:由6个专题组成。选修31:数学史选讲。

  选修32:信息安全与密码。选修33:球面上的几何。选修34:对称与群。

  -1-

  选修35:欧拉公式与闭曲面分类。选修36:三等分角与数域扩充。系列4:由10个专题组成。选修41:几何证明选讲。选修42:矩阵与变换。选修43:数列与差分。

  选修44:坐标系与参数方程。选修45:不等式选讲。选修46:初等数论初步。

  选修47:优选法与试验设计初步。选修48:统筹法与图论初步。选修49:风险与决策。

  选修410:开关电路与布尔代数。

  2.重难点及考点:

  重点:函数,数列,三角函数,平面向量,

  圆锥曲线,立体几何,导数难点:函数、圆锥曲线高考相关考点:

  ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻

  辑、充要条件

  ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、

  值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用

  ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数

  列、数列求和、数列的应用

  ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、

  和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用

  ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、

  数量积及其应用

  ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式

  的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用

  ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位

  置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系

  ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直

  线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用

  ⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线

  与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量

  ⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二

  项式定理及其应用

  ⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、

  抽样、正态分布

  ⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用⒀复数:复数的概念与运算

  关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数fx和它对应,那么就称f:AB为集合A到集合B的一个函数,记作:yfx,xA.

  2、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值

  域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法

  1、函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大(小)值1、注意函数单调性的证明方法:

  (1)定义法:设x1、x2[a,b],x1x2那么

  f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数;f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.

  必修1数学知识点第一章:集合与函数概念

  §1.1.1、集合

  1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总

  体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。

  2、只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个

  集合相等。3、常见集合:正整数集合:N*或N,整数集合:Z,有理数集合:Q,实数集合:R.

  步骤:取值作差变形定号判断格式:解:设x1,x2a,b且x1x2,则:fx1fx2=

  (2)导数法:设函数yf(x)在某个区间内可导,若f(x)0,则f(x)为增函数;

  若f(x)0,则f(x)为减函数.§1.3.2、奇偶性

  1、一般地,如果对于函数fx的定义域内任意一个

  x,都有fxfx,那么就称函数fx为

  4、集合的表示方法:列举法、描述法.

  §1.1.2、集合间的基本关系

  1、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任

  意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的子集。记作AB.

  2、如果集合AB,但存在元素xB,且xA,

  则称集合A是集合B的真子集.记作:AB.

  .并规定:3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作:

  空集合是任何集合的子集.

  偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

  2、一般地,如果对于函数fx的定义域内任意一个

  x,都有fxfx,那么就称函数fx为

  奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接:函数与导数1、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义:函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在

  P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0),相应的切线方

  4、如果集合A中含有n个元素,则集合A有2n个子

  集,2n1个真子集.

  §1.1.3、集合间的基本运算

  1、一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成

  的集合,称为集合A与B的并集.记作:AB.2、一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素

  组成的集合,称为A与B的交集.记作:AB.3、全集、补集?CUA{x|xU,且xU}

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