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高中数学数学归纳法知识点总结

来源:101教育网整理 2017-09-07 字体大小: 分享到:

  高中数学数学归纳法知识点总结

  数学归纳法

  一、内容和内容解析

  归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定可靠,数学归纳法属于完全归纳法;

  应用数学归纳法证明的两个步骤:

  (1)证明当n取第一个值n0时结论正确,

  (2)假设n=k(kN※,k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。

  用数学归纳法证题的两个步骤缺一不可,在完成了以上两个步骤以后,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。

  数学归纳法是用来证明与正整数有关的数学命题的一种推理方法,它是一个递推的数学论证方法。数学归纳法在应用时有着严格的格式,它是在可靠的基础上,利用其传递性,运用"有限"的手段,来解决"无限"的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无限。

  数学归纳法的核心:在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法,实现了有限到无限的飞跃。

  "数学归纳法"中包含着递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想.

  由于数学归纳法是证明与正整数有关的命题,数列是定义在正整数集或其子集上的特殊函数,而导数又是研究函数的重要工具,另外不等式具备传递性,正是这一条知识链注定了数学归纳法必然以数列、不等式、函数与导数等内容为背景。分析近几年与数学归纳法相关的高考试题,不难得出其命题特点:

  (1)数学归纳法中的"归纳-猜想-证明"这一基本思想与方法,考试中可以以各种题型出现,复习中仍需加以重视.但很少单独命制大题,往往作为解答题中某一小问的形式出现,重在体现它的工具性作用。且常与数列结合去考查,有时还与函数、导数、不等式等内容相关联,以体现"在知识交汇处设计试题"的命题原则。

  (2)试题特别注重加强对不完全归纳法的考查,既要求归纳发现结论,又要求能证明结论的正确性,初步形成"观察-归纳-猜想-证明"的思维模式。

  (3)高考对数学归纳法主要是'隐形'考查,也就是说这种方法在题目中往往是"藏而不露",不明说要用"数归法",但通常可用"数归法",也可用其它方法来解决(如果能找到其它解决方法的话)。

  二、目标和目标解析

  目标:理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

  1.理解数学归纳法,进一步掌握其实质与步骤.

  2.掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧:提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.

  3.培养学生综合运用知识的能力及解题时的目标意识。

  4.培养学生数学思维的严谨性。

  目标解析:

  1.数学归纳法中第1步是递推的基础(其中的n0不一定为1),第2步是递推的依据,"假设n=k(kN※,k≥n0)时命题成立"叫做归纳假设。

  2.用数学归纳法证题时,难在第二步,要顺利完成这一步主要依赖于观察、归纳、恒等变形等方面的能力,在推导证明中,必须用到"归纳假设",否则就不是数学归纳法。

  3.在研究数列的探索性问题时,数学归纳法常与不完全归纳法结合使用,其一般解题步骤是:归纳一猜想一证明。

  三、教学问题诊断分析

  教学中学生可能遇到的障碍有:

  1.由"n=k"到"n=k+1"时项的确定(产生此障碍的原因:没弄清计数规律,这类问题,通常按"找规律,定项数"的方法来处理)。

  2.若命题中n为正奇数(或正偶数),在第二步假设"n=k时命题成立",误认为需证明"n=k+1时命题也成立"(错因:忽略相邻的正奇数相差2)。

  3.处理时不善于"拆、分、并、补"等配凑技巧的应用(原因:缺乏目标意识)。4。不能灵活运用其它证明不等式的方法,如比较法、分析法、综合法、放缩法(原因:对"数学归纳法"缺乏认识,忽略了应用数学归纳法证题时可以结合其它数学方法)。

  应用数学归纳法解题要注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。

  四、教学支持条件分析

  本节课采用"多媒体"教学,以问题为主线,注重"启发、引导",师生合作。

  五、教学过程设计

  (一)题组热身

  1.已知f(n)=+++...+,则下列说法有误的是.

  ①f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+

  ②f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++

  ③f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+

  ④f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++答案:①②③

  2.某个命题与正整数有关,如果当n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时,该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题成立,那么可推导出()答案:B

  A当n=6时命题不成立B当n=6时命题成立

  C当n=4时命题不成立D当n=4时命题成立

  变式:

  某个命题与正整数有关,如果当n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时,该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推导出()答案:C

  A当n=6时命题不成立B当n=6时命题成立

  C当n=4时命题不成立D当n=4时命题成立

  3.

  答案:D

  答案:B

  题组热身[设计意图]:题组中1~5题难度不大,但题目小巧灵活,用来复习旧知,为师生共同探讨下面的例题作准备。

  (二)复习举例

  【例1】设数列满足.求,

  由此猜想的一个通项公式,并证明你的结论.

  [设计意图]:以数列为背景,培养学生"观察→分析→归纳→猜想→证明"这种从特殊到一般的数学思维,体会数学归纳法在数列中的应用。此例属于用数学归纳法证明"等式"。

  解:

  下面用数学归纳法证明

  (1)当时,,猜想成立。

  (2)假设当时,猜想成立,即

  那么当时,

  所以,当时,猜想也成立。

  由(1)(2)知,对于任意都有成立。

  【例2】(2009年高考山东卷理科第20题改编)

  [设计意图]:本题属高考改编题,与高考题相比,删去了与数学归纳法无关的某些内容,一方面提高了课堂效率,突出了本节课的重点,同时也体现了数学归纳法在证明不等式中的应用,结合分析法、放缩法等其它方法证明不等式.

  解:得,所以.

  下面用数学归纳法证明不等式成立.

  ①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.

  ②假设当(k≥1且k∈N+)时不等式成立,

  即成立.则当时,

  左边=

  所以当时,不等式也成立..

  由①、②可得不等式恒成立.

  【例3】(2009年高考陕西卷理22)已知数列满足,.

  猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论;(Ⅱ)略

  [设计意图]:本题属2009年高考题,以此为例抓住了学生的心理,更能吸引学生,让学生对高考题有一定的认识,本题表面看是数列(函数)的单调性问题,其实质为不等式,通过数学归纳法加以解决。

  证(1)

  由猜想:数列是递减数列

  下面用数学归纳法证明:

  (1)当n=1时,已证命题成立(2)假设当n=k时命题成立,即

  易知,那么

  也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合(1)和(2)知,成立,即数列是递减数列

  六、目标检测设计

  1.如果命题P(n)对于n=k(k∈N*)时成立,则它对n=k+2也成立,又若P(n)对于n=2时成立,则P(n)对所有的n都成立.答案②

  ①正整数②正偶数③正奇数④大于1的正整数

  2.如果命题现知则下列结论正确的是答案:D

  A.B.

  C.D.

  3.利用数学归纳法证明不等式时,由递推到不等式左边应添加的是

  A.B.C.D.

  [设计意图]:1~3题与课前热身训练题组相呼应,考查数学归纳法的基本概念与方法,达巩固目的。

  [设计意图]:考查用数学归纳法来证明不等式(同时复习不等式证明的其它方法)

  5.已知数列{an},Sn是其前n项的和,对不小于2的正整数满足关系1-Sn=an-1-an.

  (1)求a1、a2、a3的值;

  (2)证明:{an}是等比数列

  [设计意图]:此题与例1相呼应,检测学生的"观察→分析→归纳→猜想→证明"的思想方法,与例1不同之处在于此题已知的是Sn与an的关系,形式上要复杂些。

  6.(2009年高考安徽卷理21)首项为正数的数列满足

  (I)证明:若为奇数,则对一切都是奇数;(II)略

  [设计意图]:数学归纳法一般用于证明等式和不等式,但此题形式上都非于此,作为课堂复习的一个补充,要求对数学归纳法有更深层次的认识。本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野,有一定难度。

  证明:(I)已知是奇数,假设是奇数,其中为正整数,

  则由递推关系得是奇数。

  根据数学归纳法,对任何,都是奇数。

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标签: 高二 数学 (责任编辑:Lily)
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