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高中数学绝对值不等式知识点总结

来源:101教育网整理 2017-09-07 字体大小: 分享到:

  高中数学绝对值不等式知识点总结

  一、知识点

  1.不等式性质比较大小方法:(1)作差比较法(2)作商比较法

  不等式的基本性质

  ①对称性:a>bb>a

  ②传递性:a>b,b>ca>c

  ③可加性:a>b a+c>b+c

  ④可积性:a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc;

  ⑤加法法则:a>b,c>d a+c>b+d

  ⑥乘法法则:a>b>0,c>d>0 ac>bd

  ⑦乘方法则:a>b>0,an>bn(n∈N)

  ⑧开方法则:a>b>0,

  2.算术平均数与几何平均数定理:

  (1)如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号)

  (2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)

  推广:如果为实数,则重要结论

  (1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;

  (2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,和xy有最大值S2/4。

  3.证明不等式的常用方法:

  比较法:比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式,则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小,则选择作商比较法;碰到绝对值或根式,我们还可以考虑作平方差。

  综合法:从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。分析法:不等式两边的联系不够清楚,通过寻找不等式成立的充分条件,逐步将欲证的不等式转化,直到寻找到易证或已知成立的结论。

  4.不等式的解法

  (1)不等式的有关概念同解不等式:两个不等式如果解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做同解变形。提问:请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项

  (2)不等式ax>b的解法①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};②当a<0时不等式的解集是{x|x<b/a};③当a=0时,b<0,其解集是R;b0,其解集是ф。

  (3)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

  (4)绝对值不等式|x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a},几何表示为:o o-a 0 a|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a},几何表示为:o o-a 0 a小结:解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想,分类讨论)转化为不含绝对值的不等式,

  通常有下列三种解题思路:

  (1)定义法:利用绝对值的意义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;

  (2)公式法:|f(x)|>a f(x)>a或f(x)<-a;|f(x)|<a-a<f(x)<a;

  (3)平方法:|f(x)|>a(a>0)f2(x)>a2;|f(x)|<a(a>0)f2(x)<a2;

  (4)几何意义。

  (5)分式不等式的解法(6)一元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正),然后分解因式,再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来,从右边入手画线,最后根据曲线写出不等式的解。

  (7)含有绝对值的不等式定理:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|?|a|-|b|≤|a+b|中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立?|a+b|≤|a|+|b|中当且仅当ab≥0等号成立推论1:|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|推广:|a1+a2+...+an|≤|a1|+|a2|+...+|an|推论2:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

  二、常见题型专题总结:

  专题一:利用不等式性质,判断其它不等式是否成立

  1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是(C)A、若a>b,则|a|>|b|B、若a>b,则1/a<1/bC、若a>b,则a3>b3 D、若a>b,则a/b>1

  2、已知a<0.-1<b<0,则下列不等式成立的是(D)A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>aC、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a

  3、当0<a<b<1时,下列不等式成立的是(D)A、(1a)1/b>(1a)b B、(1+a)a>(1+b)bC、(1a)b>(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b

  4、若loga3>logb3>0,则a、b的关系是(B)A、0<a<b<1 B、b>a>1 C、0<b<a<1 D、1<b<a

  5、若a>b>0,则下列不等式①1/a<1/b;②a2>b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是(A)A、①②③④B、①②③C、①②D、③④(二)比较大小

  1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则(A)A、a<b B、a>b C、ab<1 D、ab>2

  2、a、b为不等的正数,n∈N,则(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符号是(C)A、恒正B、恒负C、与a、b的大小有关D、与n是奇数或偶数有关

  3、设1<x<10,则lg2x,lgx2,lg(lgx)的大小关系是lgx2>lg2x>lg(lgx)

  4、设a>0,a≠1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。分析:要比较大小的式子较多,为避免盲目性,可先取特殊值估测各式大小关系,然后用比较法(作差)即可。

  (三)利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件

  1、设x、y∈R,判断下列各题中,命题甲与命题乙的充分必要关系⑴命题甲:x>0且y>0,命题乙:x+y>0且xy>0充要条件⑵命题甲:x>2且y>2,命题乙:x+y>4且xy>4充分不必要条件

  2、已知四个命题,其中a、b∈R①a2<b2的充要条件是|a|<|b|;②a2<b2的充要条件是|a|2<|b|2;③a2<b2的充要条件是(a+b)与(a-b)异号;④a2<b2的充要条件是(|a|+|b|)与(|a|-|b|)异号.其中真命题的序号是

  3、"a+b>2c"的一个充分条件是(C)A、a>c或b>c B、a>c或b<c C、a>c且b>c D、a>c且b<c

  (四)范围问题

  1、设60<a<84,-28<b<33,求:a+b,a-b,a/b的范围

  。2、若二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3,求f(2)的范围。

  (五)均值不等式变形问题

  1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是(D)A、a2+b2≥2|a|?|b|B、(a/2+b/2)2≥abC、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)

  2、x、y∈(0,+∞),则下列不等式中等号不成立的是(A)C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/23、已知a>0,b>0,a+b=1,则(1/a21)(1/b21)的最小值为(D)A、6 B、7 C、8 D、94、已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求证:1/a+1/b+1/c≥95、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:(六)求函数最值1、若x>4,函数5、大、-62、设x、y∈R,x+y=5,则3x+3y的最小值是()

  3、下列各式中最小值等于2的是()DA、x/y+y/x B、C、tanα+cotαD、2x+2-x4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。

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标签: 高二 数学 (责任编辑:Lily)
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